I横浜市立大学 2024年 数学 第I問解答・解説

(1)

共有点の式は$ax^2+2ax+a+1=ax+a$、すなわち$ax^2+ax+1=0$である。
$a\ne0$なので、接するための条件は判別式$a^2-4a=0$である。$a(a-4)=0$のうち$a\ne0$から$a=4$となる。
このとき$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$となり、確かに重解$x=-\frac12$で接する。

(2)

球を平方完成すると、$(x-1)^2+(y+2)^2+(z+3)^2=49$である。中心は$K=(1,-2,-3)$、半径は$7$である。
平面までの距離は$\frac{|1+2(-2)+3(-3)-2|}{\sqrt{1+4+9}}=\frac{14}{\sqrt{14}}=\sqrt{14}$となる。
断面円の半径の2乗は$49-14=35$なので、面積は$35\pi$である。

(3)

$u=x^2+y^2\geqq0$とおくと、曲線の式は$4u-3y^2=u^2$である。したがって、$y^2=\frac{4u-u^2}3=\frac43-\frac{(u-2)^2}3\leqq\frac43$である。
$y$の最大値は正の$\frac2{\sqrt3}$であり、$u=2$のとき$x^2=2-\frac43=\frac23\geqq0$なので実現できる。
したがって、そのとき$OP=\sqrt u=\sqrt2$である。原点も曲線上にあるが、$y=0$なので最大点ではない。

(4)

分子と分母の和が$m+1$の群は$m$項あり、順に$\frac j{m+1-j}$（$j=1,\ldots,m$）である。
第$m$群までの累計は$\frac{m(m+1)}2$である。第19群まで190項、第20群まで210項なので、第200項は第20群の10番目である。
したがって、$j=10,m=20$を代入すると、$\frac{10}{21-10}=\frac{10}{11}$となる。