2兵庫医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

絶対値の平方差と三角不等式を用い，絶対値関数を区間ごとの一次式に分け，対称な項の組合せで和の下限を評価する。

(1) 左辺と右辺はいずれも0以上である。両辺の平方の差を計算すると
$$(|a|+|b|)^2-|a-b|^2=2(|a||b|+ab)=2(|ab|+ab)\geqq0$$
となる。したがって $|a|+|b|\geqq|a-b|$。等号は $|ab|+ab=0$，すなわち $ab\leqq0$ のとき，そのときに限り成り立つ。
(2) $f_3(x)$ のグラフは次の折れ線である。
$$g(x)=f_3(x)=\begin{cases} 1-8x & (x\leqq1/8) \\ 8x-1 & (1/8\leqq x\leqq1/4) \\ 3-8x & (1/4\leqq x\leqq3/8) \\ 8x-3 & (3/8\leqq x\leqq1/2) \\ 5-8x & (1/2\leqq x\leqq5/8) \\ 8x-5 & (5/8\leqq x\leqq3/4) \\ 7-8x & (3/4\leqq x\leqq7/8) \\ 8x-7 & (x\geqq7/8) \end{cases}$$
従って頂点は順に $\left(1/8,0\right),\left(1/4,1\right),\left(3/8,0\right),\left(1/2,1\right),\left(5/8,0\right),\left(3/4,1\right),\left(7/8,0\right)$ で，両端は記した直線に沿って延びる。
(3) (1)を $a=x-1,b=x-2$ に適用すると
$$|x-1|+|x-2|\geqq|(x-1)-(x-2)|=1.$$
さらに $|x-t|\geqq0$ だから，任意の実数 $t,x$ について
$$|x-1|+|x-2|+|x-t|\geqq1$$
である。等号は $x=t$ かつ $1\leqq x\leqq2$ のときに限る。
(4) $N$ の偶奇に分ける。
$N=2m$ のとき，$j$ と $2m+1-j$ を組にして $j=1,2,\ldots,m$ と動かすと
$$|x-j|+|x-(2m+1-j)|\geqq 2m+1-2j.$$
これらを加えれば
$$f(x)\geqq\sum_{j=1}^{m}(2m+1-2j)=m^2.$$
各組で等号となるのは $j\leqq x\leqq2m+1-j$ のときであり，すべての組で等号となる範囲は共通部分 $m\leqq x\leqq m+1$ である。よって最小値は $m^2$ で，$m\leqq x\leqq m+1$ のときに限り達する。
$N=2m+1$ のときは中央の項を分け，$j$ と $2m+2-j$ を組にして $j=1,2,\ldots,m$ とすると
$$f(x)=|x-(m+1)|+\sum_{j=1}^{m}\bigl(|x-j|+|x-(2m+2-j)|\bigr) \geqq |x-(m+1)|+2\sum_{r=1}^{m}r \geqq m(m+1).$$
この下限は $x=m+1$ で達する。等号には中央の項が0であることが必要なので，このときに限る。以上より最小値は $[ N^2/4]$。偶数 $N=2m$ では $m\leqq x\leqq m+1$，奇数 $N=2m+1$ では $x=m+1$ のときに達する。