4徳島大学 2025年 数学 第4問解答・解説

固定した正整数 $p,q$ に対して $b=a+p,\ c=a+p+q$ である。したがって $1\leqq a\leqq2n-p-q$ であり、このような $a$ の個数は $2n-p-q$（ただし $p+q\leqq2n-1$）である。

(1)〜(3)のために $S(k)$ を求める。$n\leqq k\leqq2n-2$ のとき、$p=q=k$ は $p+q\leqq2n-1$ を満たさない。一方、他方の差を $j$ とすると $1\leqq j\leqq2n-1-k$ であり、$(p,q)=(k,j),(j,k)$ の二通りがある。よって
$$S(k)=2\sum_{j=1}^{2n-1-k}(2n-k-j).$$
ここで $m=2n-1-k$ とおけば $2n-k=m+1$ だから
$$S(k)=2\sum_{j=1}^{m}(m+1-j)=2(1+2+\cdots+m)=m(m+1) =(2n-1-k)(2n-k).$$

次に $1\leqq k\leqq n-1$ のときは、$(p,q)=(k,k)$ の場合と、$(k,j),(j,k)$（$1\leqq j\leqq k-1$）の場合を数えればよい。すべて $p+q\leqq2n-1$ を満たすので
$$\begin{aligned} S(k) &=(2n-2k)+2\sum_{j=1}^{k-1}(2n-k-j)\\ &=2n-2k+2(k-1)(2n-k)-k(k-1)\\ &=-3k^2+(4n+1)k-2n. \end{aligned}$$$$S(k)=(2n-2k)+2\sum _{j=1}^{k-1}(2n-k-j)$$$$=2n-2k+2(k-1)(2n-k)-k(k-1)$$$$=-3k^2+(4n+1)k-2n.$$
したがって $n=3$ では $S(2)=-3\cdot2^2+13\cdot2-6=8$、また $S(3)=(6-1-3)(6-3)=6$ である。

(4) $n=3m$（$m$ は正整数）とする。$1\leqq k\leqq n-1$ において $k=2m+x$ とおくと、上の式から
$$S(k)=S(2m)-3x^2+x,\qquad S(2m)=12m^2-4m.$$
$x$ は整数であり、$x\ne0$ なら $-3x^2+x<0$ なので、この範囲での最大値は $k=2m$ のときの $12m^2-4m$ である（$2m\leqq3m-1$）。一方、$n\leqq k\leqq2n-2$ では $t=2n-1-k$ とおくと $1\leqq t\leqq n-1$ であり、$S(k)=t(t+1)\leqq n(n-1)$。さらに
$$12m^2-4m-n(n-1)=3m^2-m=m(3m-1)>0$$
だから、全体の最大値は
$$M=12m^2-4m=\frac{4n(n-1)}{3}.$$