3東海大学 2024年 数学 第3問解答・解説

球と内接立方体の関係（空間対角線が球の直径になること、内接球の直径が立方体の一辺に等しいこと）から、半径と一辺の関係を求める。体積比は $3$ の累乗として整理し、整数で比較した。

(1)

半径 1 の球に内接する立方体では、立方体の空間対角線が球の直径である。一辺を $a_{1}$ とすると $\sqrt{3}\,a_{1}=2$ だから
$$a_{1}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$$

(2)

立方体に内接する球の直径は、立方体の一辺に等しい。したがって
$$r_{2}=\dfrac{a_{1}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$$

(3)

球 $S_{2}$ に内接する立方体の一辺を $a_{2}$ とすると、$\sqrt{3}\,a_{2}=2r_{2}$。よって $a_{2}=\dfrac{2}{3}$。

(4)

半径を $r_{n}$、立方体 $P_{n}$ の一辺を $a_{n}$ とすると
$$r_{1}=1,\qquad a_{n}=\dfrac{2r_{n}}{\sqrt{3}},\qquad r_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{2}=\dfrac{r_{n}}{\sqrt{3}}.$$
したがって $r_{n}=3^{-(n-1)/2}$、$a_{n}=2\cdot3^{-n/2}$。ゆえに $P_{n}$ の体積は
$$a_{n}^{3}=8\cdot3^{-3n/2}.$$

(5)

球 $S_{n}$ の体積は
$$\dfrac{4}{3}\pi r_{n}^{3} =\dfrac{4}{3}\pi\cdot3^{-3(n-1)/2} =4\pi\sqrt{3}\cdot3^{-3n/2}.$$

(6)

$S_{n}$ の体積を $V_{n}$ とすると、$S_{1}$ に対する体積の比は
$$\dfrac{V_{n}}{V_{1}}=3^{-3(n-1)/2}.$$
$n=4$ では $3^{-9/2}=\dfrac{1}{81\sqrt{3}}>\dfrac{1}{216}$ である（両辺の分母を比べると $81\sqrt{3}<216$。実際 $19683<46656$）。一方、$n=5$ では $3^{-6}=\dfrac{1}{729}<\dfrac{1}{216}$。この比は $n$ が1増えるごとに $\dfrac{1}{3\sqrt{3}}$ 倍となって小さくなるので、条件を満たす最小の自然数は $5$。