III東北医科薬科大学 2022年 数学 第III問解答・解説

(1)

$\mathrm{P}$ は原点を中心とする一定半径の円上を動く。同じ弦 $\mathrm{AB}$ を見込む角が $60^{\circ}$ なので、$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ もこの円上にあり、中心角の小さい方は $120^{\circ}$ である。
$$\mathrm{AB}=2\sqrt{3}=2R\sin 60^{\circ}$$
より $R=\mathrm{OP}=2$ である。

$\ell$ は弦 $\mathrm{AB}$ から中心までの距離が $\sqrt{R^{2}-\left(\dfrac{\mathrm{AB}}{2}\right)^{2}}=1$ の水平線であり、$\mathrm{C}$ と $\mathrm{D}$ が上側にある配置から $\ell:\ y=-1$ である。$\mathrm{A}$ の $x$ 座標は負なので、
$$\mathrm{A}=(-\sqrt{3},\,-1),\quad \mathrm{B}=(\sqrt{3},\,-1)$$
となる。正方形の一辺は $2\sqrt{3}$ なので、
$$\mathrm{C}=(\sqrt{3},\,2\sqrt{3}-1),\quad \mathrm{D}=(-\sqrt{3},\,2\sqrt{3}-1)$$
である。

(2)

$\mathrm{PC}=\mathrm{PD}$ となる点は、$\mathrm{CD}$ の垂直二等分線 $x=0$ と円 $x^{2}+y^{2}=4$ の交点のうち、$y>-1$ を満たすものである。よって $\mathrm{P}=(0,\,2)$ であり、
$$\mathrm{PC}^{2}=3+(2\sqrt{3}-3)^{2}=24-12\sqrt{3}=(3\sqrt{2}-\sqrt{6})^{2}.$$

(3)

$s=\sqrt{3}$、$h=2\sqrt{3}-1$、$K=4+s^{2}+h^{2}=20-4\sqrt{3}$ とおく。$\mathrm{P}=(x,\,y)$（$x^{2}+y^{2}=4$）とすると、比 $\dfrac{\mathrm{PD}}{\mathrm{PC}}$ が 1 未満となるのは $x<0$ の側である。$x=-\sqrt{4-y^{2}}$ として、比の二乗は
$$\dfrac{\mathrm{PD}^{2}}{\mathrm{PC}^{2}}=\dfrac{K-2s\sqrt{4-y^{2}}-2hy}{K+2s\sqrt{4-y^{2}}-2hy}$$
となる。これは $g(y)=\dfrac{\sqrt{4-y^{2}}}{K-2hy}$ を最大化すれば最小となる。$-1<y\leqq2$ で $g'(y)=0$ は $y=\dfrac{8h}{K}=\dfrac{9\sqrt{3}+1}{11}$ であり、符号が変わることから、これが唯一の最大点である。

$\ell$ は $y=-1$ なので、$\mathrm{P}_{1}$ から $\ell$ までの距離は $y+1=\dfrac{9\sqrt{3}+12}{11}$ である。