3滋賀医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

I (1)

$$P(\text{赤玉が全て出る})=\dfrac{{}_{4}\mathrm{C}_{4}\cdot{}_{4}\mathrm{C}_{2}}{{}_{8}\mathrm{C}_{6}}=\dfrac{3}{14}.$$

I (2)

初めて 6 回目で赤玉がなくなる確率は
$$\dfrac{{}_{4}\mathrm{C}_{3}\cdot{}_{4}\mathrm{C}_{2}}{{}_{8}\mathrm{C}_{5}}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{7}.$$

II

$s=a+b$ とし、$k$ 回後の赤玉の個数を $R_{k}$、$k$ 回目に赤玉が出る確率を $p_{k}$ とする。$p_{1}=\dfrac{a}{s}$ であり、
$$p_{k+1}=\dfrac{E(R_{k})}{s+k},\qquad E(R_{k})=a+\sum_{j=1}^{k}p_{j}$$
が成り立つ。
$p_{1}=\dfrac{a}{s}$、$p_{2}=\dfrac{a+p_{1}}{s+1}=\dfrac{a}{s}$、$p_{3}=\dfrac{a+p_{1}+p_{2}}{s+2}=\dfrac{a}{s}$ である。
$p_{j}=\dfrac{a}{s}$（$1\leqq j\leqq k$）と仮定すると、$E(R_{k})=a+k\cdot\dfrac{a}{s}=\dfrac{a(s+k)}{s}$ なので、$p_{k+1}=\dfrac{E(R_{k})}{s+k}=\dfrac{a}{s}$ となる。
よって数学的帰納法により、すべての $n\geqq1$ について $p_{n}=\dfrac{a}{a+b}$ である。

I(1) は全8個から6個を選ぶ組合せのうち赤4個を全て含む場合なので ${}_{4}\mathrm{C}_{4}{}_{4}\mathrm{C}_{2}/{}_{8}\mathrm{C}_{6}=3/14$。I(2) は最初の5回に赤3・白2、その後に残った赤1個を引く確率で $3/7\cdot1/3=1/7$。II では $k$ 回後の赤玉数を $R_k$ とすると、次回の赤確率は $E[R_k]/(a+b+k)$。赤玉の期待数を逐次足すと $E[R_k]=a+\sum_{j=1}^kp_j$ なので、$p_1=a/(a+b)$ からの帰納法で全回同じ確率になる。