5大阪医科薬科大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1) 変数の平行移動と既約性

対偶を示す。$f(x)$ が既約でないなら、ある二つの非定数整数係数多項式 $g,h$ で $f(x)=g(x)h(x)$ と表せる。
$x$ を $x+1$ に置き換えると
$$f(x+1)=g(x+1)h(x+1).$$
二つの因子は整数係数であり、変数の平行移動は次数を変えないので、どちらも非定数。
従って $f(x+1)$ も既約でない。対偶により主張が成立する。

(2) 三次の場合の素数による既約性

既約でないと仮定する。三次多項式なので、整数係数の一次式と二次式にまとめて、
$$f(x)=(ux+v)(wx^2+sx+t),\qquad u,w\ne0$$
と表せる。係数比較により、
$$a_3=uw,\quad a_2=us+vw,\quad a_1=ut+vs,\quad a_0=vt.$$
$a_3$ は $p$ の倍数でないので、$u,w$ はどちらも $p$ の倍数でない。
$a_0=vt$ は $p$ の倍数だが $p^2$ の倍数でないので、$v,t$ のちょうど一方だけが $p$ の倍数である。
もし $v$ が $p$ の倍数で、$t$ が $p$ の倍数でないなら、$a_1=ut+vs$ は $p$ の倍数にならず、矛盾する。
もし $t$ が $p$ の倍数で、$v$ が $p$ の倍数でないなら、$a_1$ が $p$ の倍数であることから、$s$ は $p$ の倍数である。
すると、$a_2=us+vw$ は $p$ の倍数にならず、やはり矛盾する。
したがって、非定数の整数係数多項式の積には表せず、既約である。

(3) 指定多項式の既約性

$x$ を $x+1$ に置き換えると
$$f(x+1)=2(x+1)^3+3(x+1)^2-6(x+1)+4 =2x^3+9x^2+6x+3.$$
素数 $p=3$ を取ると、定数項3は3の倍数だが9の倍数でない。
$x,x^2$ の係数6,9は3の倍数で、最高次係数2は3の倍数でない。
従って(2)により $f(x+1)$ は既約、さらに(1)により $f(x)$ も既約となる。