2大阪医科薬科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1) 定数 $a$、$b$

積分等式に $x=0$ を代入すると、左辺は $0$、右辺は $b$ なので、$b=0$ である。
$f$ は連続だから、微積分の基本定理と合成関数の微分により、
$$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{-x}^{x}f(t)\,dt=f(x)+f(-x)=a\cos x.$$
$x=0$ を入れ、$f(0)=1$ を使うと、$2=a$ となる。

(2) $g$ が奇関数であること

(1) の微分した式から $f(x)+f(-x)=2\cos x$。
従って
$$g(-x)=f(-x)-\cos(-x)=2\cos x-f(x)-\cos x=-\bigl(f(x)-\cos x\bigr)=-g(x).$$
よって $g$ は奇関数である。

(3) 二乗積分の不等式と等号条件

$f(t)=\cos t+g(t)$ を二乗して積分すると、
$$\int_{-x}^{x}f(t)^{2}\,dt-\int_{-x}^{x}\cos^{2}t\,dt =2\int_{-x}^{x}g(t)\cos t\,dt+\int_{-x}^{x}g(t)^{2}\,dt.$$
$g$ は奇関数、$\cos$ は偶関数なので、積 $g\cos$ は奇関数であり、対称な区間上の積分は $0$ である。
したがって、差は $\displaystyle\int_{-x}^{x}g(t)^{2}\,dt\geqq0$ であり、不等式が成り立つ。
等号条件は、この非負の関数の積分が $0$ になることである。$g$ は連続なので、もし区間内の一点で $g(t)\neq0$ なら、その周りの区間で $g(t)^{2}>0$ となって積分は正になる。
よって、等号は $-x\leqq t\leqq x$ の範囲で $g(t)=0$、すなわち $f(t)=\cos t$ のときに限る。
なお、すべての $x>0$ で同時に等号が成り立つ条件なら、すべての実数 $t$ で $f(t)=\cos t$ である。