4大阪医科薬科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) Eの座標

正方形 $CDEF$ では $DF,CE$ が対角線であり、その交点 $H$ は両対角線の中点で、$CE\perp DF$ である。
$D,F$ は直線 $AB$ 上なので、$H$ は $C$ から直線 $AB$ への垂足である。
$$\vec{v}=\overrightarrow{AB}=(2,3,-6),\quad \overrightarrow{AC}=(2,24,-20),\quad |\vec{v}|^2=49,$$
$$\overrightarrow{AC}\cdot\vec{v}=196.$$
よって、$H=A+\frac{196}{49}\vec{v}=A+4\vec{v}=(7,7,-15)$ である。
$H$ は $CE$ の中点なので、$E=2H-C=(13,-5,-19)$ となる。

(2) D,Fの座標

$\overrightarrow{HC}=(-6,12,4)$ なので、$HC=\sqrt{36+144+16}=14$ である。
正方形の二対角線は長さが等しく、中点で交わるので、$HD=HF=14$ である。
直線 $AB$ の単位方向ベクトルは $\frac{\vec{v}}{7}$ だから、
$$D,F=H\pm14\frac{\vec{v}}{7}=H\pm2\vec{v}.$$
$A,H$ を基準とした直線パラメータでは、$A$ が $0$、$H$ が $4$ であり、二候補は $2$ と $6$ である。
$A,D,F$ の順になるため、$D=H-2\vec{v}=(3,1,-3)$、$F=H+2\vec{v}=(11,13,-27)$ となる。

(3) 正方形を対角線の周りに回転した体積

回転軸は対角線 $DF$ であり、$H$ を中心とした軸上座標を $u$ とする。
$D,F$ の座標は $u=-14,14$、$C,E$ の軸からの距離は $14$ で、軸上の位置は $u=0$ である。
正方形を回転させると、半径 $14$、高さ $14$ の二つの円錐を底面で合わせた立体となる。
または、$-14\leqq u\leqq14$ で、回転後の断面円板の半径は $14-|u|$ である。
したがって、
$$\begin{aligned} V&=\pi\int_{-14}^{14}(14-|u|)^2\,du\\ &=2\pi\int_0^{14}(14-u)^2\,du\\ &=\frac{2\pi\cdot14^3}{3}=\frac{5488\pi}{3}. \end{aligned}$$$$V=\pi {\int }_{-14}^{14}(14-|u|{)}^{2}du$$$$=2\pi {\int }_0^{14}(14-u{)}^{2}du$$$$=\frac{2\pi \cdot 14^3}{3}=\frac{5488\pi }{3}.$$