3大阪医科薬科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1) 楕円の極方程式

極が $\mathrm{A}=(2,0)$ なので、点 $\mathrm{P}$ は $x=2+r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ と書ける。
$y>0,\ r>0$ より $0<\theta<\pi$ としてよい。
楕円の式に代入して 45 倍すると
$$5(2+r\cos\theta)^{2}+9r^{2}\sin^{2}\theta=45,$$
$$(9-4\cos^{2}\theta)r^{2}+20r\cos\theta-25=0.$$
左辺は
$$\{(3-2\cos\theta)r+5\}\{(3+2\cos\theta)r-5\}$$
と因数分解できる。第一因子は $r>0$ で正なので、第二因子が 0 である。したがって上記の極方程式となる。

(2) $\mathrm{OQ}$ の最小値

$\rho=\mathrm{AQ}$ とおくと、$\mathrm{AP}\cdot\mathrm{AQ}=\dfrac{5}{2}$ より
$$\rho=\dfrac{5}{2r}=\dfrac{3+2\cos\theta}{2}.$$
したがって $\mathrm{Q}=(2+\rho\cos\theta,\ \rho\sin\theta)$ である。
$c=\cos\theta$ ($-1<c<1$) とおけば、$\rho=\dfrac{3}{2}+c$ なので、
$$\begin{aligned} \mathrm{OQ}^{2}&=4+4\rho c+\rho^{2}\\ &=5c^{2}+9c+\dfrac{25}{4}\\ &=5\left(c+\dfrac{9}{10}\right)^{2}+\dfrac{11}{5}. \end{aligned}$$$${\mathrm{OQ}}^2=4+4\rho c+{\rho }^2$$$$=5c^2+9c+\frac{25}{4}$$$$=5{\left(c+\frac{9}{10}\right)}^2+\frac{11}{5}.$$
$c=-\dfrac{9}{10}$ は $-1<c<1$ を満たし、実際に上半分の楕円上の点に対応するため、最小値 $\mathrm{OQ}^{2}=\dfrac{11}{5}$ は達成される。
よって、$\mathrm{OQ}$ の最小値は $\sqrt{\dfrac{11}{5}}$ である。