1大阪医科薬科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) 増減・凹凸とグラフ

微分すると、
$$f'(x)=(1-x)e^{-x},\qquad f''(x)=(x-2)e^{-x}.$$
$e^{-x}>0$ より、$x<1$ で増加、$x>1$ で減少し、$x=1$ で極大値 $\frac{1}{e}$ をとる。
また、$x<2$ では $f''<0$ で上に凸、$x>2$ では $f''>0$ で下に凸である。
したがって、変曲点は $\left(2,\frac{2}{e^2}\right)$ である。
原点を通り、$x<0$ で負、$x>0$ で正である。
$x\to-\infty$ で $xe^{-x}\to-\infty$、$x\to\infty$ では与えられた極限から $f(x)\to0$ である。
これらの特徴から概形は次のようになる。

(2) 変曲点の接線との間の面積

変曲点 $x=2$ の接線は
$$y-\frac{2}{e^2}=-\frac{1}{e^2}(x-2),\qquad y=\frac{4-x}{e^2}.$$
$x<2$ で曲線は上に凸なので、接線が曲線の上にある。
また、$h(x)=f(x)-\frac{4-x}{e^2}$ の導関数は $h'(x)=f'(x)+e^{-2}$ である。
$f'$ は $x<2$ で狭義減少し $f'(2)=-e^{-2}$、$x>2$ で狭義増加するから、$h'$ は $x\ne2$ で正である。
したがって、接線と曲線の共有点は $x=2$ だけであり、$y$ 軸と囲む領域は $0\leqq x\leqq2$ にある。
面積は
$$\begin{aligned} S&=\int_0^2\left\{\frac{4-x}{e^2}-xe^{-x}\right\}dx\\ &=\frac{6}{e^2}-\left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^2\\ &=\frac{9}{e^2}-1. \end{aligned}$$$$S={\int }_0^2\left\{\frac{4-x}{e^2}-x{e}^{-x}\right\}dx$$$$=\frac{6}{e^2}-{\left[-(x+1)e^{-x}\right]}_0^2$$$$=\frac{9}{e^2}-1.$$

(3) 三本の接線を引けるaの範囲

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、その接線は
$$y=(1-t)e^{-t}x+t^2e^{-t}.$$
これが $(0,a)$ を通る必要十分条件は $a=H(t)=t^2e^{-t}$ である。
$$H'(t)=t(2-t)e^{-t}$$
なので、$H$ は $(-\infty,0)$ で狭義減少、$(0,2)$ で狭義増加、$(2,\infty)$ で狭義減少する。
値は $H(0)=0,H(2)=\frac{4}{e^2}$ であり、左無限遠で $H\to\infty$、右無限遠で $H\to0$ である。
したがって、$0<a<\frac{4}{e^2}$ のときに限り、上記三つの区間で各一つ、合計三つの接点がある。
$a=0$ では接点は一つ、$a=\frac{4}{e^2}$ では二つ、$a>\frac{4}{e^2}$ では一つ、$a<0$ では存在しない。
異なる二接点が同じ接線を与えることもない。もし同じ直線に二点で接すれば、曲線と直線の差の導関数は、両接点とその間の少なくとも一点の計三点で $0$ になるが、$f'$ は $2$ を境に減少・増加するので、同じ値を高々二回しかとらないため矛盾する。
よって、接点数と接線数は一致し、答えの範囲となる。