5大阪医科薬科大学 2022年 数学 第5問解答・解説

(1)

$y\geqq2$ なら $2^y$ は $4$ の倍数なので、方程式より $3^x\equiv1\pmod4$。$3\equiv-1\pmod4$ だから $(-1)^x=1$ となり、$x$ は偶数である。

(2)

$y=1$ なら $3^x=3$ より $x=1$。$y\geqq2$ なら (1) により $x=2u$（$u$ は正整数）とおける。このとき
$$(3^u-1)(3^u+1)=2^y.$$
正の偶数 $3^u-1,3^u+1$ はともに $2$ の冪で、差が $2$ である。$3^u-1=2^p,\ 3^u+1=2^q$（$1\leqq p<q$）と置けば
$$2^p(2^{q-p}-1)=2.$$
従って $p=1,\ q-p=1$、すなわち $3^u=3,\ u=1$。よって $x=2,\ 2^y=8$ より $y=3$。得た2組はいずれも原方程式を満たす。