1大阪医科薬科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1)

$F(x)=\log(1+x)-x+\frac{x^2}{2}$ とおく。$x\geqq0$ で
$$F^{\prime}(x)=\frac1{1+x}-1+x=\frac{x^2}{1+x}\geqq0,\qquad F(0)=0.$$
従って $F(x)\geqq0$ であり、求める不等式を得る。$x>0$ では $F^{\prime}>0$ なので等号は $x=0$ のみ。

(2)

全項は正なので対数をとると、$x\leqq\log(1+x)+\frac{x^2}{2}\leqq x+\frac{x^3}{3}$ を示せばよい。左は (1) そのもの。
右について $G(x)=x+\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-\log(1+x)$ とおくと、
$$G^{\prime}(x)=1+x^2-x-\frac1{1+x}=\frac{x^3}{1+x}\geqq0,\qquad G(0)=0.$$
よって $G(x)\geqq0$。指数関数は狭義増加なので元の連鎖不等式が成立する。$x>0$ では $F,G$ とも正なので等号は $x=0$ だけである。