4大阪医科薬科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1)

$\sin^2\frac{\pi x}{2}=\frac{1-\cos\pi x}{2}$ より、$f^{\prime}(x)=4-2x-\frac\pi2\sin\pi x$。$0\leqq x\leqq1$ では $2x\leqq2,\ \sin\pi x\leqq1$ なので
$$f^{\prime}(x)\geqq2-\frac\pi2>0.$$
従って $f$ は $[0,1]$ で連続かつ狭義増加する。さらに $f(0)=0,\ f(1)=3-1=2$。中間値の定理で各 $a$（$0\leqq a\leqq2$）について解が存在し、狭義増加から一意である。

(2)

$y=f(x)$ で置換すると、
$$\begin{aligned} \int_0^2g(y)\,dy&=\int_0^1xf^{\prime}(x)\,dx\\ &=[xf(x)]_0^1-\int_0^1f(x)\,dx\\ &=2-\int_0^1\left(4x-x^2-\sin^2\frac{\pi x}{2}\right)\,dx. \end{aligned}$$$${\int }_0^{2}g(y)dy={\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)dx$$$$=[xf(x){]}_0^1-{\int }_0^{1}f(x)dx$$$$=2-{\int }_0^1\left(4x-x^2-{\sin }^2\frac{\pi x}{2}\right)dx.$$
後の積分は $2-\frac13-\frac12=\frac76$ である。従って求める値は $2-\frac76=\frac56$。