2大阪医科薬科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1)

平均の定義より $\sum_{i=1}^k x_i=k\overline{x},\ \sum_{j=1}^{\ell}y_j=\ell\overline{y}$。全 $k+\ell$ 個の和を個数で割れば
$$m=\frac{\sum_{i=1}^k x_i+\sum_{j=1}^{\ell}y_j}{k+\ell}=\frac{k\overline{x}+\ell\overline{y}}{k+\ell}.$$

(2)

平方を展開して
$$\sum_{i=1}^k(x_i-\overline{x})^2=\sum_{i=1}^k x_i^2-2\overline{x}\sum_{i=1}^k x_i+k\overline{x}^{\,2}.$$
$\sum_{i=1}^k x_i=k\overline{x}$ を代入すると $\sum_{i=1}^k x_i^2-2k\overline{x}^{\,2}+k\overline{x}^{\,2}=\sum_{i=1}^k x_i^2-k\overline{x}^{\,2}$ となる。

(3)

定義式を展開すると
$$\begin{aligned} S={}&\sum_{i=1}^k x_i^2+\sum_{j=1}^{\ell}y_j^2\\ &-2m\left(\sum_{i=1}^k x_i+\sum_{j=1}^{\ell}y_j\right)+(k+\ell)m^2. \end{aligned}$$$$S=\sum _{i=1}^k{x}_i^2+\sum _{j=1}^{\ell }{y}_j^2$$$$-2m\left(\sum _{i=1}^k{x}_i+\sum _{j=1}^{\ell }{y}_j\right)+(k+\ell )m^2.$$
(1) より $\sum_{i=1}^k x_i+\sum_{j=1}^{\ell}y_j=(k+\ell)m$ なので、
$$S=\sum_{i=1}^k x_i^2+\sum_{j=1}^{\ell}y_j^2-2(k+\ell)m^2+(k+\ell)m^2$$
となり、求める式を得る。

(4)

(2) を両群へ適用すると
$$S_1=\sum_{i=1}^k x_i^2+\sum_{j=1}^{\ell}y_j^2-k\overline{x}^{\,2}-\ell\overline{y}^{\,2}.$$
よって (3) との差は $k\overline{x}^{\,2}+\ell\overline{y}^{\,2}-(k+\ell)m^2$。$m$ を (1) で置換して通分すると、分子は
$$\begin{aligned} &(k+\ell)(k\overline{x}^{\,2}+\ell\overline{y}^{\,2})-(k\overline{x}+\ell\overline{y})^2\\ &\qquad=k\ell(\overline{x}^{\,2}-2\overline{x}\overline{y}+\overline{y}^{\,2}). \end{aligned}$$$$(k+\ell )(k{\overline{x}}^2+\ell {\overline{y}}^2)-(k\overline{x}+\ell \overline{y}{)}^2$$$$=k\ell ({\overline{x}}^2-2\overline{x}\overline{y}+{\overline{y}}^2).$$
従って $S-S_1=\frac{k\ell}{k+\ell}(\overline{x}-\overline{y})^2$。