3大阪医科薬科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1)

各赤カードが独立に4箱を等確率で選ぶ通常のモデルを用いる。赤の $1$ の入る箱を固定すると、赤の $3$ が同じ箱を選ぶ確率は $\frac14$。あるいは2枚の箱の選び方 $4^2$ 通り中、同じ箱のもの $4$ 通りなので $\frac4{16}=\frac14$。

(2)
偶数カード $2,4$ は各箱の和の偶奇を変えない。奇数カード $1,3$ が同じ箱ならその箱も偶数となり $X=0$。異なる箱ならその2箱だけが奇数となり $X=2$。(1) より前者 $\frac14$、後者 $\frac34$。他の値は不可能で確率 $0$。

(3)
青の奇数カード $1,3$ が入る2箱の集合を $T$ とすると、${}_{4}\mathrm{C}_{2}=6$ 個の2要素集合が等確率である。
$X=0$ のとき赤の和は全箱で偶数なので常に $Y=2$。この場合の確率は $\frac14$。
$X=2$ のとき赤の和が奇数の2箱の集合を $S$ とする。最終的に奇数となる箱は $S,T$ の対称差なので、$T=S$ なら $Y=0$（6通り中1通り）、$T,S$ の共通箱が1個なら $Y=2$（4通り）、共通箱が0個なら $Y=4$（1通り）。従って
$$\begin{aligned} P(Y=0)&=\frac34\cdot\frac16=\frac18,\\ P(Y=2)&=\frac14+\frac34\cdot\frac46=\frac34,\\ P(Y=4)&=\frac34\cdot\frac16=\frac18. \end{aligned}$$$$P(Y=0)=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{8},$$$$P(Y=2)=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{6}=\frac{3}{4},$$$$P(Y=4)=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{8}.$$
$Y$ が奇数の確率は $0$。