7長崎大学 2022年 数学 第7問解答・解説

原点を$O$とする$xy$座標平面上に、楕円$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$と、$C$上を動く点$P(a\cos\alpha,b\sin\alpha)\ \left(0<\alpha<\dfrac\pi2\right)$がある。以下の問いに答えよ。

(1) $C$の方程式の両辺を$x$で微分し、$P$における$C$の接線の傾きを求めよ。また、この接線の方程式は$\dfrac{\cos\alpha}{a}x+\dfrac{\sin\alpha}{b}y=1$であることを示せ。

(2) $P$における$C$の接線と$x$軸および$y$軸とで囲まれる三角形の面積$S$の最小値を求めよ。また、このときの$P$を点$Q$とし、$Q$における$C$の接線を$\ell$とする。$Q$の座標および$\ell$の方程式を、$a,b$を用いて表せ。

(3) $C$上の点$R(a\cos\beta,b\sin\beta)\ \left(\dfrac\pi2<\beta<\pi\right)$における接線$m$が、(2)で求めた$\ell$と垂直に交わるものとし、その交点を$A$とする。このとき、$\tan\beta$の値および$R$の座標を、$a,b$を用いて表せ。

(4) (2)と(3)における$Q,R,A$について、線分$OQ,OR,OA$の長さの平方$OQ^2,OR^2,OA^2$をそれぞれ$a,b$を用いて表し、線分$OQ,OR,OA$の長さの大小を比較せよ。