2京都府立医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

各段階に到達する確率を独立な試行の積で求め、次の段階へ進む確率との差として $p_{n}$ を表す。隣り合う項の差の和（望遠和）で全体の和と $P$ の端数を評価する。

(1)

硬貨が $n$ 枚になるまで続けるには、1 枚から $n-1$ 枚までの各段階で、投げた硬貨がすべて表でなければならない。$k$ 枚の段階で全部表となる確率は $2^{-k}$ であり、各回の硬貨投げは独立だから、$n$ 枚の段階に達する確率は
$$2^{-1}\cdot2^{-2}\cdots2^{-(n-1)}=2^{-\dfrac{n(n-1)}{2}}$$
である。その段階で終了するのは、$n$ 枚のうち少なくとも 1 枚が裏となる場合で、その確率は $1-2^{-n}$ である。よって
$$p_{n}=\left(1-2^{-n}\right)2^{-\dfrac{n(n-1)}{2}}.$$

(2)

$q_{0}=1$ とし、$q_{n}=2^{-1}\cdot2^{-2}\cdots2^{-n}=2^{-\dfrac{n(n+1)}{2}}$ とおく。$q_{n}$ は $n$ 回目の投げまで全部表となり、$n+1$ 枚の段階へ進む確率である。(1) の結果より
$$p_{n}=q_{n-1}\left(1-2^{-n}\right)=q_{n-1}-q_{n}.$$
したがって、任意の正の整数 $N$ について
$$\sum_{n=1}^{N}p_{n}=q_{0}-q_{N}=1-2^{-\dfrac{N(N+1)}{2}}.$$
$N$ が大きくなると右端の第 2 項は 0 に近づくので、
$$\sum_{n=1}^{\infty}p_{n}=1.$$

(3)

(2) の $q_{n}$ を用いると $p_{1}=q_{0}-q_{1}=\dfrac{1}{2}$、$p_{3}=q_{2}-q_{3}=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{64}=\dfrac{7}{64}$ である。したがって
$$P>p_{1}+p_{3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{64}=\dfrac{39}{64}>\dfrac{3}{5}=0.6.$$
一方、すべての $p_{n}$ は正であり、奇数番目のうち $n$ が 5 以上の項の和は、すべての $n$ が 5 以上の項の和より小さい。後者は望遠和だから
$$\sum_{j=3}^{\infty}p_{2j-1}<\sum_{k=5}^{\infty}p_{k}=q_{4}=2^{-10}=\dfrac{1}{1024}.$$
ゆえに
$$P<\dfrac{39}{64}+\dfrac{1}{1024}=\dfrac{625}{1024}<\dfrac{31}{50}=0.62.$$
最後の不等号は $625\cdot50=31250<31744=31\cdot1024$ による。以上より $0.6<P<0.62$ である。