1京都府立医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

fの反復を有理式として明示し、その周期性から和の不変性を示す。反復項の和と積を調べ、二次方程式の根の和・積およびc=3の場合の候補を導く。

問題の条件から、以後の変数は実数であり、0,1,-1のいずれとも異なる。まず、分母が0にならないことを確かめながら合成する。
(1) $f(f(x))=\frac{1+\frac{1+x}{1-x}}{1-\frac{1+x}{1-x}}=\frac{\frac{2}{1-x}}{\frac{-2x}{1-x}}=-\frac{1}{x}$。したがって、$f(f(f(x)))=f\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{x-1}{x+1}$であり、$$f(f(f(f(x))))=f\left(\frac{x-1}{x+1}\right)=\frac{1+\frac{x-1}{x+1}}{1-\frac{x-1}{x+1}}=\frac{\frac{2x}{x+1}}{\frac{2}{x+1}}=x.$$各段階の分母は、xが0,1,-1でないことから0ではない。
(2) Dを0,1,-1を除く実数全体とする。$t$ が $D$ に属するならf(t)は定義され、分子が0となるのはt=-1のとき、f(t)=1となるのはt=0のときである。また、f(t)=-1となることは1+t=-(1-t)を意味するが、これは矛盾する。よってf(t)もDに属する。$$S(t)=t+f(t)+f(f(t))+f(f(f(t)))$$とおく。(1)より、$$S(f(t))=f(t)+f(f(t))+f(f(f(t)))+f(f(f(f(t))))=S(t).$$$x=\alpha$が(E)の解なら$S(\alpha)=c$であり、fはDをDに移すからこの等式を順に適用できる。したがって$S(f(\alpha))=S(f(f(\alpha)))=S(f(f(f(\alpha))))=c$となり、三つの値はいずれも(E)の実数解である。
(3) (1)で得た式から$f(f(\alpha))=-1/\alpha$である。従って$$y_1=\alpha-\frac{1}{\alpha},\qquad y_2=f(\alpha)+f(f(f(\alpha))).$$また、$$y_2=\frac{1+\alpha}{1-\alpha}+\frac{\alpha-1}{\alpha+1}=\frac{(1+\alpha)^2+(\alpha-1)(1-\alpha)}{(1-\alpha)(\alpha+1)}=\frac{4\alpha}{1-\alpha^2}.$$ゆえに$$y_1y_2=\frac{\alpha^2-1}{\alpha}\cdot\frac{4\alpha}{1-\alpha^2}=-4.$$さらに、定義から$$y_1+y_2=\alpha+f(\alpha)+f(f(\alpha))+f(f(f(\alpha)))=c.$$従って$$(y-y_1)(y-y_2)=y^2-(y_1+y_2)y+y_1y_2=y^2-cy-4,$$よって$y_1,y_2$は指定された二次方程式の解である。
(4) $c=3$のとき、(E)は$y_1+y_2=3$と同値であり、(3)で示した積の値も用いると$y_1,y_2$は方程式$$y^2-3y-4=(y-4)(y+1)=0$$の二つの解である。特に$y_1=\alpha-1/\alpha$は4または-1である。前者から$$\alpha-\frac{1}{\alpha}=4\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad \alpha^2-4\alpha-1=0\quad\text{、すなわち}\quad \alpha=2\pm\sqrt{5},$$後者から$$\alpha-\frac{1}{\alpha}=-1\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad \alpha^2+\alpha-1=0\quad\text{、すなわち}\quad \alpha=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.$$これらはすべて0,1,-1とは異なる。逆に、各値では$y_1$が4または-1となり、恒等式$y_1y_2=-4$から$y_2$はそれぞれ-1または4となるので、$y_1+y_2=3$、すなわち(E)が成り立つ。以上より解は$$x=2\pm\sqrt{5},\qquad x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.$$