2高知大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1)

$p-q=d$ とすると、$d=3,4,5,6,7$ に対する組の数はそれぞれ $8-d$。$p-q<-2$ の場合も対称に同数なので、個数は $2(5+4+3+2+1)=30$。

(2)

全 $n^2$ 組から、$p<\frac n2$ かつ $q<\frac n2$ である組を除く。
$n=2m$ のとき、正整数で $\frac n2$ 未満なのは $1,\ldots,m-1$ の $m-1$ 個なので、$a_n=n^2-(m-1)^2=\frac{3n^2+4n-4}4$。
$n=2m+1$ のとき、$\frac n2=m+\frac12$ 未満なのは $1,\ldots,m$ の $m$ 個なので、$a_n=n^2-m^2=\frac{3n^2+2n-1}4$。
$n=1$ にも後者が適用され、$a_1=1$。

(3)

$p$ を固定したとき、許される $q$ の数は $\left[\sqrt{n^2-p^2}\right]$ であり、$p=n$ では $0$ 個。
したがって、$b_n=\sum_{p=1}^n\left[\sqrt{n^2-p^2}\right]$。
$u-1<[ u]\leqq u$ を各項に用い、$n^2$ で割ると、$R_n-\frac1n<\frac{b_n}{n^2}\leqq R_n$。ただし、$R_n=\frac1n\sum_{p=1}^n\sqrt{1-\left(\frac pn\right)^2}$。
$R_n$ は連続関数 $\sqrt{1-x^2}$ の $[0,1]$ 上の右端区分求積和だから、$R_n\to\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx$。
これは半径 $1$ の円の第1象限の面積 $\frac\pi4$ に等しい。
はさみうちにより、結論を得る。