3北里大学 2022年 数学 第3問解答・解説

箱A/Bごとの状態確率を条件付き確率で更新する。白玉なしの場合は状態別漸化式を解き、白玉が一度だけの場合は唯一白玉を引く時点で場合分けして幾何和を計算する。

操作後に箱 $A$ が置かれる確率を $a_n$、箱 $B$ が置かれる確率を $b_n$ とする。初めは箱 $A$ なので、0回後は $A$ にいる確率が1、$B$ にいる確率が0である。箱 $A$ からは赤玉または青玉がそれぞれ確率 $\frac12$ で出る。箱 $B$ からは白玉が確率 $\frac34$、青玉が確率 $\frac14$ で出る。

(1) 常に箱は $A,B$ のいずれか一方なので
$$b_n=1-a_n.$$
$n+1$ 回目の操作後に箱 $A$ となるのは、$n$ 回後に $A$ が置かれ赤玉を引く場合、または $B$ が置かれ白玉を引く場合である。従って
$$a_{n+1}=\frac12a_n+\frac34b_n =\frac34-\frac14a_n.$$

(2) 漸化式の特性方程式 $\alpha=-\frac14\alpha+\frac34$ の解 $\alpha=\frac35$ を用いると
$$a_{n+1}-\frac35=-\frac14\left(a_n-\frac35\right).$$
最初の操作では $a_1=\frac12$ だから
$$a_n-\frac35=\left(a_1-\frac35\right)\left(-\frac14\right)^{n-1} =-\frac1{10}\left(-\frac14\right)^{n-1}.$$
よって
$$a_n=\frac35+\frac25\left(-\frac14\right)^n.$$

(3) 白玉を一度も引かず、$n$ 回後に箱 $A$ にいる確率を $u_n$、箱 $B$ にいる確率を $v_n$ とする。初期値は $u_0=1,v_0=0$ であり
$$u_{n+1}=\frac12u_n,\qquad v_{n+1}=\frac12u_n+\frac14v_n.$$
従って $u_n=2^{-n}$ であり、漸化式を繰り返し代入すると
$$v_n=\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac14\right)^{n-1-j}\left(\frac12\right)^{j+1} =2^{1-n}-2^{1-2n}.$$
求める確率は $u_n+v_n$ だから
$$u_n+v_n=3\cdot2^{-n}-2^{1-2n}=3\cdot2^{-n}-2\cdot4^{-n}.$$

(4) まず白玉を一度も引かず $j$ 回後に $B$ にいる確率は $v_j=2^{1-j}-2^{1-2j}$ である。次の1回で白玉を引く確率は $\frac34$ で、その直後には箱 $A$ に戻る。その後 $n-1-j$ 回白玉を引かない確率は (3) より
$$p_{n-1-j}=3\cdot2^{-(n-1-j)}-2^{1-2(n-1-j)}.$$
白玉を引く回を $j+1$ 回目（$j=0,1,\ldots,n-1$）と場合分けすると、ちょうど1回白玉を引く確率は
$$\frac34\sum_{j=0}^{n-1}v_jp_{n-1-j} =\frac34\sum_{j=0}^{n-1}\left(2^{1-j}-2^{1-2j}\right) \left(3\cdot2^{-(n-1-j)}-2^{1-2(n-1-j)}\right).$$
等比数列の和を計算すると
$$\frac{9n-30}{2^n}+\frac{12n+30}{4^n}.$$