3浜松医科大学 2026年 数学 第3問解答・解説

O,A,Bはこの順に一直線上にあるので、AとBはOから同じ向きにあり，$0<a<b$ である。$\theta=\angle AOC=\angle BOC$、$x=\cos\theta$ とおく。点Cは半径cの球面上を動くので，$x$ は$-1\leqq x\leqq1$ のすべての値をとる。

(1) 余弦定理より，
$$AC^{2}=a^{2}+c^{2}-2acx,\qquad BC^{2}=b^{2}+c^{2}-2bcx.$$
$r=AC/BC$ がCによらず一定なら，$\lambda=r^{2}$ とおくと，すべての$x$ に対して
$$a^{2}+c^{2}-2acx=\lambda(b^{2}+c^{2}-2bcx)$$
が成り立つ。$x$ の係数を比較して$ac=\lambda bc$ だから，$\lambda=a/b$ である。定数項を比較すると
$$a^{2}+c^{2}=\frac{a}{b}(b^{2}+c^{2}),$$
よって
$$b(a^{2}+c^{2})=a(b^{2}+c^{2}),\qquad (b-a)(c^{2}-ab)=0.$$
$b>a$ より$c^{2}=ab$ を得る。逆に$c^{2}=ab$ なら，上の距離の二乗の式で定数項も$a/b$ 倍の関係となるので，$AC^{2}=(a/b)BC^{2}$ がすべてのCについて成り立つ。距離は正であるから$r=\sqrt{a/b}$ である。

(2) DはOBを$3:1$ に内分するので，$OD:DB=3:1$，したがって$OD=\frac34 OB$ である。$OD=c$ より$OB=b=\frac43c$。また$OB:OD=OD:OA$ から$b/c=c/a$，すなわち$c^{2}=ab$ である。したがって(1)より
$$\frac{AC}{BC}=\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{c^{2}/b}{b}}=\frac{c}{b}=\frac{3}{4}.$$
実際，この条件から$a=3c/4$，$b=4c/3$ となり，$0<a<b$ も満たす。