1近畿大学 2023年 数学 第1問解答・解説

取り出す 2 つの色の組（黒黒・黒赤・黒黄・赤赤・赤黄）で場合を分ける。5 つから 2 つを選ぶ ${}_{5}\mathrm{C}_{2}=10$ 通りのうち、黒黒 1、赤赤 1、黒赤 4、黒黄 2、赤黄 2 通りで、それぞれ得点は「和」「和の $-1$ 倍」「差」「積」「積の $-1$ 倍」になる。

色の組の確率は、黒黒 $\dfrac{1}{10}$、赤赤 $\dfrac{1}{10}$、黒赤 $\dfrac{4}{10}$、黒黄 $\dfrac{2}{10}$、赤黄 $\dfrac{2}{10}$ である。黒の目を $x$、もう一方の目を $y$ とすると、得点は黒黒で $x+y$、赤赤で $-(x+y)$、黒赤で $x-y$、黒黄で $xy$、赤黄で $-xy$ である。目の出方は 36 通りずつある。

(1)

得点 0 は黒赤で $x=y$ の 6 通りだけだから $\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{15}$。

得点 1 は、黒赤で $x-y=1$ の 5 通り、黒黄で $xy=1$ の 1 通りだから
$$\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{5}{36}+\dfrac{2}{10}\cdot\dfrac{1}{36}=\dfrac{22}{360}=\dfrac{11}{180}.$$
得点 4 は、黒黒で $x+y=4$ の 3 通り、黒赤で $x-y=4$ の 2 通り、黒黄で $xy=4$ の 3 通りだから
$$\dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{3}{36}+\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{2}{36}+\dfrac{2}{10}\cdot\dfrac{3}{36}=\dfrac{17}{360}.$$

(2)

B さんは残りの 3 つから 2 つを取るので、組は 3 通りで等しい確率 $\dfrac{1}{3}$ である。

どちらも 1：A さんが黒赤（得点 1 の確率 $\dfrac{5}{36}$）のとき、残りは黒・赤・黄で、B さんが得点 1 となる確率は $\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{5}{36}+\dfrac{1}{36}+0\right)=\dfrac{1}{18}$。A さんが黒黄（$\dfrac{1}{36}$）のとき、残りは黒・赤・赤で、B さんは黒赤（$\dfrac{2}{3}$）のときだけ得点 1 になり得て $\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{5}{36}=\dfrac{5}{54}$。よって
$$\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{5}{36}\cdot\dfrac{1}{18}+\dfrac{2}{10}\cdot\dfrac{1}{36}\cdot\dfrac{5}{54}=\dfrac{1}{324}+\dfrac{1}{1944}=\dfrac{7}{1944}.$$
どちらも 4：A さんが黒黒のとき、残りは赤・赤・黄で B さんの得点は負だから 0。A さんが黒赤（$\dfrac{2}{36}$）のとき、B さんは $\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{36}+\dfrac{3}{36}+0\right)=\dfrac{5}{108}$。A さんが黒黄（$\dfrac{3}{36}$）のとき、B さんは $\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{27}$。よって
$$\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{2}{36}\cdot\dfrac{5}{108}+\dfrac{2}{10}\cdot\dfrac{3}{36}\cdot\dfrac{1}{27}=\dfrac{1}{972}+\dfrac{1}{1620}=\dfrac{2}{1215}.$$
A さんの得点が 0 のとき、A さんは黒赤を取っていて、残りは黒・赤・黄である。B さんの得点が正になるのは、黒赤で $x>y$（$\dfrac{15}{36}$）、黒黄（必ず正）のときで、赤黄では必ず負だから
$$\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{15}{36}+1+0\right)=\dfrac{17}{36}.$$