3金沢医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

第3問

比 $1:2$ に内分する点は、始点を $X$、終点を $Y$ とすると $\dfrac{2X+Y}{3}$ である。

(1)

・ $n$ が奇数なら終点は $B=(1,\,0)$、偶数なら $C=(-1,\,0)$。よって
$$x_{n+1}=\dfrac{2}{3}x_{n}+\dfrac{(-1)^{n+1}}{3},\quad x_{1}=0, \qquad y_{n+1}=\dfrac{2}{3}y_{n},\quad y_{1}=1.$$
したがって空欄は $2,\,3,\,3,\,2,\,3$。

(2)

・ $z_{n}=x_{n}/(-1)^{n}$ とすると
$$z_{n+1}=\dfrac{x_{n+1}}{(-1)^{n+1}}=-\dfrac{2}{3}z_{n}+\dfrac{1}{3},\qquad z_{1}=0.$$
この漸化式の定数解は $\dfrac{1}{5}$ なので
$$z_{n}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{5}\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}.$$
従って
$$x_{n}=(-1)^{n}z_{n}=\dfrac{1}{5}\left\{(-1)^{n}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\right\}.$$
空欄は $2,\,3,\,1,\,3,\,1,\,5,\,2,\,3$。

(3)

・ $y_{n}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}$ だから
$$5x_{n}-y_{n}=(-1)^{n}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}-y_{n}=(-1)^{n}.$$
よって空欄は $5$。

(4)

・ $A=A_{2n-1}$、$A'=A_{2n}$、$A''=A_{2n+1}$ とする。$A'$ は線分 $AB$ を $1:2$ に内分するので $AA'=\dfrac{1}{3}AB$。また $A''$ は線分 $A'C$ を $1:2$ に内分し、$A'$ は直線 $AB$ 上にあるから、$A''$ から直線 $AB$ までの高さは $C$ からの高さの $\dfrac{1}{3}$ である。したがって三角形 $A\,A'\,A''$ の面積は、三角形 $ABC$ の面積の $\dfrac{1}{9}$ であり、
$$S_{n}=\dfrac{1}{9}\,\triangle A_{2n-1}BC.$$
三角形 $A_{2n-1}BC$ は、底辺 $BC$ の長さが2、高さが $y_{2n-1}$ なので、面積は $y_{2n-1}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2n-2}=\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n-1}$ である。よって
$$S_{n}=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n-1}.$$
従って
$$S_{1}=\dfrac{1}{9},\qquad \sum_{n=1}^{\infty}S_{n}=\dfrac{\dfrac{1}{9}}{1-\dfrac{4}{9}}=\dfrac{1}{5}.$$
空欄は $1,\,9,\,1,\,5$。