2金沢医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

第 2 問

$a>0$ より
$$ax^{2}+2(a-1)x-4=(x+2)(ax-2),\qquad3x^{2}+(3a-1)x-a=(3x-1)(x+a).$$
従って ① の解は $-2<x<\dfrac{2}{a}$、② の解は $x\leqq-a$ または $x\geqq\dfrac{1}{3}$ である。ここで $-a<\dfrac{1}{3}$ であるから、共通範囲は
$$\begin{cases} -2<x\leqq-a\ \text{または}\ \dfrac{1}{3}\leqq x<\dfrac{2}{a},&0<a<2,\\ \dfrac{1}{3}\leqq x<\dfrac{2}{a},&2\leqq a<6,\\ \text{解なし},&a\geqq6. \end{cases}$$

(1)

$a=1$ のとき共通範囲は $-2<x\leqq-1$ または $\dfrac{1}{3}\leqq x<2$。整数は $-1$、$1$ の 2 個。

(2)

$2<a<6$ では共通範囲は $\dfrac{1}{3}\leqq x<\dfrac{2}{a}$。従って空欄は $1,\,3,\,2$ である。

(3)

$x=\dfrac{1}{2}$ を ① に代入すると
$$\left(\dfrac{1}{2}+2\right)\left(\dfrac{a}{2}-2\right)<0\quad\text{すなわち}\quad a<4.$$
② は $\left(\dfrac{3}{2}-1\right)\left(\dfrac{1}{2}+a\right)>0$ で、$a>0$ の範囲で常に成り立つ。従って $0<a<4$ である。

(4)

$0<a\leqq1$ なら左側の範囲 $-2<x\leqq-a$ に整数 $-1$ が 1 個含まれ、$1<a<2$ では左側の範囲に整数はない。右側の範囲に含まれる正の整数は、$n<\dfrac{2}{a}$ を満たすものである。
ちょうど 5 個となるには、左側の範囲の $-1$ と右側の範囲の 4 個が必要である（$a>1$ では右側の範囲の整数は高々 1 個）。右側の範囲に 4 個となる条件は
$$4<\dfrac{2}{a}\leqq5\quad\text{すなわち}\quad\dfrac{2}{5}\leqq a<\dfrac{1}{2}.$$
この範囲は $a\leqq1$ を満たすため、求める範囲は $\dfrac{2}{5}\leqq a<\dfrac{1}{2}$ である。

(5)

$0<a<6$ では右側の範囲 $\dfrac{1}{3}\leqq x<\dfrac{2}{a}$ が空でなく、共通する実数がある。$a=6$ では端点が一致しても ① は上端を含まないため共通解はなく、以後もない。従って $a\geqq6$ である。

(6)

$a<2$ なら $x=1$ は $-2<1<\dfrac{2}{a}$ かつ $(3-1)(1+a)>0$ を満たし、整数解となる。$a\geqq2$ では左側の範囲は空で、右側の範囲は $\dfrac{1}{3}\leqq x<\dfrac{2}{a}\leqq1$ となり整数を含まない。従って整数解がない範囲は $a\geqq2$ である。