III順天堂大学 2022年 数学 第III問解答・解説

位置ベクトルの係数の和で各面の所属を判定し，直線上のパラメータと対面までの高さから比および内心係数を求める。

$OABC$ は四面体なので $\vec a,\vec b,\vec c$ は一次独立であり，$P$ の表示係数 $s,t,u$ は一意である。
(1) 面 $ABC$ 上の点は，頂点 $A,B,C$ の位置ベクトルの係数の和が1となる形 $\lambda\vec a+\mu\vec b+\nu\vec c$ で表される。逆に係数の和が1ならその点は平面 $ABC$ 上にある。よって必要十分条件は $s+t+u=1$ である。
(2) $q=s+t+u$ とおく。$P$ が四面体の内部にあるので $0<q<1$ である。$D$ は直線 $OP$ 上にあるから $\overrightarrow{OD}=\lambda\overrightarrow{OP}$ とおける。$D$ が面 $ABC$ 上にある条件を(1)に適用すると $\lambda q=1$，従って $\overrightarrow{OD}=(s\vec a+t\vec b+u\vec c)/q$ となる。また $O,P,D$ はこの順に一直線上にあるので $OD:PD=(1/q):(1/q-1)=1:(1-q)=1:(1-s-t-u)$ である。
(3) $E$ を $\overrightarrow{OE}=\vec a+\lambda(\overrightarrow{OP}-\vec a)$ とおく。面 $OBC$ 上では $\vec a$ の係数が0なので $1+\lambda(s-1)=0$，すなわち $\lambda=1/(1-s)$ である。よって $\overrightarrow{OE}=t/(1-s)\vec b+u/(1-s)\vec c$ となる。$0<s<1$ より $\lambda>1$ であり，$AE=\lambda AP,\ PE=(\lambda-1)AP$ だから $AE:PE=1:s$ である。
(4) $v=1-s-t-u$ とおく。点 $P$ は内接球の中心なので4面への距離が等しい。面 $OBC$ への距離は，その面からの符号付き距離が $O,B,C$ で0，$A$ で15であることから $15s$ である。同様に面 $OCA,OAB,ABC$ への距離はそれぞれ $12t,20u,20v$ である。共通距離を $r$ とすれば $s=r/15,\ t=r/12,\ u=r/20,\ v=r/20$ であり，$s+t+u+v=1$ より $r(1/15+1/12+1/20+1/20)=r/4=1$，したがって $r=4$ である。ゆえに $s=4/15,\ t=1/3,\ u=1/5$ で，$\overrightarrow{OP}=\frac4{15}\vec a+\frac13\vec b+\frac15\vec c$ となる。