II順天堂大学 2022年 数学 第II問解答・解説

曲線と直線の差の4根と面積積分を用いる。外側面積の等しさから根の左右対称性を導き、定積分条件で定数項を決める。

(a) $g$ は偶関数で，4交点は $-c,-b,b,c$（$0<b<c$）である。符号は外側から $+,-,+,-,+$ なので，条件 $S_1+S_3=S_2$ は $\int_{-c}^{c}g(x)\,dx=0$，すなわち $\int_0^c g(x)\,dx=0$ と同値である。したがって $\int_0^c g(x)\,dx=\frac15c^5-\frac65c^3+ac=0$ である。また $g(c)=0$ より $a=-c^4+\frac{18}{5}c^2$，積分式を $c>0$ で割ると $a=-\frac15c^4+\frac65c^2$ だから，両式を比較して $c^2=3$，$a=9/5$ を得る。さらに $z=x^2$ とおけば $5z^2-18z+9=0$ の根は $3,3/5$ であるから $b=\sqrt{3/5}=\sqrt{15}/5,\ c=\sqrt3$ となる。
(b)(c) 条件Aの下で曲線と直線の差を $F(x)$ とし，4交点間の間隔を $\alpha=x_2-x_1,\ \beta=x_3-x_2,\ \gamma=x_4-x_3$ とする。$F$ は最高次係数1の四次式であり，$S_1=-\int_{x_1}^{x_2}F,\ S_3=-\int_{x_3}^{x_4}F$ である。根を $x_2$ を原点とする座標で表して積分すると，$$S_1-S_3=\frac{\alpha-\gamma}{60}\left(3\alpha^4+10\alpha^3\beta+8\alpha^3\gamma+10\alpha^2\beta^2+20\alpha^2\beta\gamma+8\alpha^2\gamma^2+10\alpha\beta^2\gamma+20\alpha\beta\gamma^2+8\alpha\gamma^3+10\beta^2\gamma^2+10\beta\gamma^3+3\gamma^4\right).$$ 括弧内は正であり，条件 $S_1=S_3$ より $\alpha=\gamma$ となる。従って4根は中点 $m=(x_2+x_3)/2$ に関して対称で，$F$ は $t=x-m$ の偶関数である。また条件 $S_1+S_3=S_2$ は $\int_{x_1}^{x_4}F(x)\,dx=0$ を意味する。
(b) $F=h-\ell$ の $x^3$ の係数は4である。対称な根をもつ最高次の係数が1の四次式では $x^3$ の係数は $-4m$ だから $m=-1$ である。$t=x+1$ とおくと $h(x)=t^4-\frac{18}{5}t^2+2t+3$ となる。直線を $\ell(x)=px+q$ とすれば $F$ の $t$ の一次の項が消えるため $p=2$ である。さらに $\ell=2x+q=2t+q-2$ より $F=t^4-\frac{18}{5}t^2+5-q$ である。(a) と同じ積分条件から定数項は $9/5$ であるので $q=16/5$，求める直線は $y=2x+16/5$ である。また $h_1(x)=(x+1)^4-\frac{18}{5}(x+1)^2$ については，条件Aを満たす水平線は $y=-9/5$ である。
(c) $F=x^4-3x^2+(2-p)x+(2-q)$ とおく。$x^3$ の係数が0なので対称中心は $m=0$ であり，$F$ が偶関数となるには $p=2$ が必要である。定数項を $a=2-q$ とすると，外側の正の交点 $c$ について $c^4-3c^2+a=0$ および $\int_0^c(x^4-3x^2+a)\,dx=\frac15c^5-c^3+ac=0$ が成り立つ。これらから $c^2=5/2$，$a=5/4$ を得るため $q=3/4$ であり，直線は $y=2x+3/4$ である。