1東京慈恵会医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

条件付き標本空間を物理的な玉の順序で等確率に数え、白玉の位置ごとに各不等式を満たす場合を分類した。

条件付きの標本空間では，白玉が出る位置が3通り，白玉の番号が3通り，赤玉2個の番号の順序が3$\cdot$2通りある。したがって，取り出し方は全部で3$\cdot$3$\cdot$3$\cdot$2=54通りであり，どれも同様に確からしい。
白玉の位置ごとに数える。白玉が1番目なら，$a_1<a_2<a_3$ は白玉番号・赤玉番号・赤玉番号が$(1,2,3)$の1通りである。白玉が2番目でも，$(a_1,a_2,a_3)=(1,2,3)$となる1通り，白玉が3番目でも同じく1通りなので，条件を満たすのは合計3通り。よって（ア）は$3/54=1/18$。
次に$a_1<a_2>a_3$を数える。白玉が1番目のとき，白玉番号を$w$，1番目と2番目の赤玉番号を$r,s$とすると$w<r>s$である。$r=2$なら$(w,s)=(1,1)$の1通り，$r=3$なら$w,s$はそれぞれ1または2の4通りで，計5通り。白玉が2番目のときは中央の白玉番号が両方の赤玉番号より大きくなければならず，白玉番号3，赤玉番号1と2の順序2通りである。白玉が3番目のときは赤玉番号を$r<s$とすると白玉番号$w<s$であり，$(r,s)=(1,2),(1,3),(2,3)$ごとの場合数はそれぞれ1,2,2で，計5通り。したがって該当するのは12通りであり，（イ）は$12/54=2/9$。