1弘前大学 2022年 数学 第1問解答・解説

補角・加法定理から和積の関係を使って三角関数を整理する。

(1) $\sin 160^{\circ}=\sin 20^{\circ}$ である。また、和積の公式より
$\sin 20^{\circ}+\sin 40^{\circ}=2\sin 30^{\circ}\cos 10^{\circ}=\cos 10^{\circ}=\sin 80^{\circ}$。
したがって $\sin 40^{\circ}-\sin 80^{\circ}+\sin 160^{\circ}=0$。

(2) $\sin$160^$\circ$=$\sin$20^$\circ$ と和積の公式から
$\sin 80^{\circ}-\sin 160^{\circ}=\sin 80^{\circ}-\sin 20^{\circ}=2\cos 50^{\circ}\sin 30^{\circ}=\cos 50^{\circ}=\sin 40^{\circ}$。
よって求める値は $\tan 40^{\circ}-4\sin 40^{\circ}$ である。ここで
$\tan 40^{\circ}-4\sin 40^{\circ}+\sqrt{3}=\dfrac{\sin 40^{\circ}-4\sin 40^{\circ}\cos 40^{\circ}+\sqrt{3}\cos 40^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}$。
二倍角の公式と加法定理により、分子は
$\sin 40^{\circ}-2\sin 80^{\circ}+\sqrt{3}\cos 40^{\circ}=2\sin 100^{\circ}-2\sin 80^{\circ}=0$。
ゆえに求める値は -$\sqrt3$ である。