4浜松医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) $\cos\theta=(9+9-25)/18=-7/18$ である。
(2) $\cos\theta<0$ より $c^2>b^2+9>b^2$ であり、三角形の成立条件から $c-b<3$ である。$b=2$ なら $13<c^2<25$ かつ $c<5$ となり、$c=4$ に限られるが素数ではない。したがって、$b,c$ は奇素数で $c-b=2$ である。
(3) $\cos\theta=\dfrac{5}{6b}-\dfrac{2}{3}$ より、与えられた範囲の条件は $10<b<20$ と同値である。$c=b+2$ を満たす素数の組は $(11,13),(17,19)$ である。