2浜松医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1) $J_n(x)=\int_0^n e^{-t}\sin(tx)\,dt$ とおく。部分積分をそれぞれに用いると
$$I_n(x)=1-e^{-n}\cos(nx)-xJ_n(x),\qquad J_n(x)=-e^{-n}\sin(nx)+xI_n(x)$$
を得る。第2式を第1式に代入し、$1+x^2>0$ に注意して
$$\boxed{I_n(x)=\frac{1-e^{-n}\cos(nx)+xe^{-n}\sin(nx)}{1+x^2}}$$
となる。これはすべての実数 $x$ について成り立つ。

(2) 実数 $x$ を固定すると
$$\left|e^{-n}\{x\sin(nx)-\cos(nx)\}\right| \leqq (|x|+1)e^{-n}\longrightarrow 0.$$
したがって
$$\boxed{M(x)=\frac{1}{1+x^2}}.$$

(3) $M'(x)=-\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}$ より、$x<0$ では $M'(x)>0$、$x>0$ では $M'(x)<0$ である。ゆえに $x<0$ で増加し、$x>0$ で減少する。$x=0$ で極大値かつ最大値 $M(0)=1$ をとる。$M(x)>0$ であり、$x\to\infty$、$x\to-\infty$ のとき $M(x)\to0$ なので、極小値も最小値もない。

さらに
$$M''(x)=\frac{2(3x^2-1)}{(1+x^2)^3}.$$
したがって $|x|<1/\sqrt3$ では $M''(x)<0$ で上に凸、$|x|>1/\sqrt3$ では $M''(x)>0$ で下に凸である。$x=\pm1/\sqrt3$ の前後で凹凸が変わり、$M(\pm1/\sqrt3)=3/4$ だから、変曲点は
$$\left(-\frac1{\sqrt3},\frac34\right),\qquad \left(\frac1{\sqrt3},\frac34\right)$$
である。$M(-x)=M(x)>0$ より、グラフは $y$ 軸対称で $(0,1)$ を通り、$x$ 軸とは交わらない。$y=0$ を水平漸近線とする。以上を図示すると次のようになる。黒点は極大点と変曲点である。