3浜松医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1) $\alpha\beta\gamma=2(1+i)=2+2i$ より、
$$|\alpha\beta\gamma|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2.$$
(2) 偏角は積で加法されるので、
$$\arg(iz)=\arg i+\arg z=\frac\pi2+\frac\pi8=\frac{5\pi}8.$$
これは $0\leqq\arg(iz)<2\pi$ の範囲にある。
(3) $\alpha=a+bi$ が $T$ の要素なら $a\geqq1,\ b\geqq0$ である。$N(a+bi)=a^2+b^2$ とおくと、$N(\alpha\beta\gamma)=N(\alpha)N(\beta)N(\gamma)\leqq5$。この条件で $T$ に属する要素は、ノルム $1,2,4,5$ の順に $1,1,1,2$ 個である。したがって可能なノルム組は次の5種類の並べ替えに限られる。
$$\begin{gathered}(1,1,1),(2,1,1),(4,1,1),\\(5,1,1),(2,2,1)\end{gathered}$$$$(1,1,1),(2,1,1),(4,1,1),$$$$(5,1,1),(2,2,1)$$
それぞれの組数は $1,3,3,6,3$ なので、
$$k=1+3+3+6+3=16.$$
(4) 　 $w=\alpha\beta\gamma=x+yi$ とおくと、$x,y$ は整数で $0<N(w)=x^2+y^2\leqq5$。第1象限では $(1,1),(1,2),(2,1)$、虚軸では $i,2i$ が該当し、他の軸上の点は範囲外である。よって
$$w=i,\ 1+i,\ 2i,\ 1+2i,\ 2+i\text{ のいずれか}.$$
実際、第1象限の $1+2i,2+i$ の傾きはそれぞれ $2,1/2$。$2>1=\tan(\pi/4)$ および $1/2>\sqrt2-1=\tan(\pi/8)$ なので、どちらの偏角も $\pi/8$ より大きく $\pi/2$ 未満である。第2象限の候補は $-1+i,-1+2i,-2+i$ で、最初は $3\pi/4$。次の $-1+2i$ は傾き $-2>-(1+\sqrt2)=\tan(5\pi/8)$ なので偏角が $5\pi/8$ より大きい。最後の $-2+i$ は傾き $-1/2>-1=\tan(3\pi/4)$ なので偏角が $3\pi/4>5\pi/8$ より大きい。ほかの軸上の点と第4象限の点は範囲外である。

$w=i$ のときノルムは $(1,1,1)$ で、3因子は単位。最初の2因子を選べば最後は定まるから $4^2=16$ 通り。
$w=1+i$ のノルムの組は $(2,1,1)$ の並べ替えであり、因子の位置3通りと二つの単位の選び方 $4^2$ 通りから $48$ 通り。
$w=2i$ ではノルムの組が $(4,1,1)$ または $(2,2,1)$。前者は $3\cdot4^2=48$ 通り、後者も単位の位置3通りと二つのノルム2の因子の選び方 $4^2$ 通りで $48$ 通り、計 $96$ 通り。
$w=1+2i,2+i$ は各々ノルム組 $(5,1,1)$ の並べ替えで、それぞれ $3\cdot4^2=48$ 通り。よって
$$m=16+48+96+48+48=256=16\cdot16+0.$$
したがって、$m$ を $k=16$ で割った商は $16$、余りは $0$。

複素数の絶対値の二乗を整数ノルムとして使う。ノルムの乗法性により、(3)では各因子のノルムの可能性と順序付きノルム組を数える。(4)ではまず積 w の候補格子点を偏角条件で絞り、各 w について因子ノルムの組別に順序付き分解数を数える。