3東海大学 2023年 数学 第3問解答・解説

次の空欄を埋めなさい。解答は分数の場合には既約分数の形で書きなさい。
$a$ を実数とする。数列 $\{a_n\}$ は、初項を $a_1=a$ とし、自然数 $n$ に対して、漸化式
$$a_{n+1}=4\lvert a_n-1\rvert$$
で定義されるものとする。
(1) $a=\frac{41}{32}$ のとき、$a_4=\boxed{\text{ア}}$ である。
(2) $a=\frac{47}{64}$ のとき、$a_4=\boxed{\text{イ}}$ である。
(3) すべての自然数 $n$ に対して $a_n=a$ となるとき、$a$ は、$a=\boxed{\text{ウ}}$、または $a=\boxed{\text{エ}}$ である。ただし、$\boxed{\text{ウ}}<\boxed{\text{エ}}$ とする。
(4) $a>\boxed{\text{エ}}$ ならば、一般項 $a_n$ は、$a$ を用いて表すと、$a_n=\boxed{\text{オ}}$ である。
(5) $a_1\neq\boxed{\text{ウ}}$ であり、2以上のすべての自然数 $n$ に対して $a_n=\boxed{\text{ウ}}$ となるとき、$a$ は、$a=\boxed{\text{カ}}$ である。
(6) $a_1\neq\boxed{\text{ウ}}$、かつ、$a_2\neq\boxed{\text{ウ}}$ であり、3以上のすべての自然数 $n$ に対して $a_n=\boxed{\text{ウ}}$ となるとき、$a$ は、$a=\boxed{\text{キ}}$、または $a=\boxed{\text{ク}}$ である。ただし、$\boxed{\text{キ}}<\boxed{\text{ク}}$ とする。