III東北医科薬科大学 2024年 数学 第III問解答・解説

極座標の定義から直交座標の式へ移し、平方完成して楕円の標準形を求める。半径から軸の長さと焦点を出し、中心を原点に平行移動した楕円と直線を連立する。

極方程式の分母は $5-3\cos\theta\geqq 2>0$ なので、$r>0$ である。直交座標では $x=r\cos\theta$、$r^2=x^2+y^2$ だから、与式は $5r-3x=3$ と同値である。両辺を平方すると $25(x^2+y^2)=9(x+1)^2$、すなわち $16x^2+25y^2-18x-9=0$ を得る。平方完成して
$$16\left(x-\dfrac{9}{16}\right)^2+25y^2=\dfrac{225}{16},\qquad \dfrac{\left(x-\dfrac{9}{16}\right)^2}{\left(\dfrac{15}{16}\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(\dfrac{3}{4}\right)^2}=1.$$
この楕円上では $\left|x-\dfrac{9}{16}\right|\leqq\dfrac{15}{16}$ より $-\dfrac{3}{8}\leqq x\leqq\dfrac{3}{2}$、特に $x+1>0$ である。したがって、平方後の式からも $5r=3(x+1)$ が従い、平方による余分な点は生じない。また原点はこの楕円上にないので $r>0$ であり、各点に極角をとれば元の極方程式に戻る。よってこの標準形は与えられた軌跡と一致する。

(1)

標準形から中心は $\left(\dfrac{9}{16},0\right)$、長半径は $a=\dfrac{15}{16}$、短半径は $b=\dfrac{3}{4}$ である。$a>b$ なので長軸は $x$ 軸に平行であり、長軸・短軸の長さはそれぞれ $2a=\dfrac{15}{8}$、$2b=\dfrac{3}{2}$ である。

(2)

焦点までの距離を $c$ とすると、$c^2=a^2-b^2=\dfrac{225}{256}-\dfrac{144}{256}=\dfrac{81}{256}$ より $c=\dfrac{9}{16}$。したがって焦点は $\left(\dfrac{9}{16}-\dfrac{9}{16},0\right)=(0,0)$ と $\left(\dfrac{9}{16}+\dfrac{9}{16},0\right)=\left(\dfrac{9}{8},0\right)$ であり、指定の順序では $\left(\dfrac{9}{8},0\right)$、$(0,0)$ となる。

(3)

元の楕円の中心の $x$ 座標は $\dfrac{9}{16}$ なので、これを $x$ 軸方向に $-\dfrac{9}{16}$ だけ平行移動すると $y$ 軸対称となる。移動後の楕円は
$$g(x,y)=0:\quad \dfrac{x^2}{\left(\dfrac{15}{16}\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(\dfrac{3}{4}\right)^2}=1,\quad\text{すなわち}\quad \dfrac{256}{225}x^2+\dfrac{16}{9}y^2=1.$$
直線から $y=\dfrac{\sqrt{3}(15-16x)}{20}$ と表せる。これを楕円に代入すると
$$\dfrac{256}{225}x^2+\dfrac{(15-16x)^2}{75}=1\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad 512x^2-720x+225=0.$$
判別式は $720^2-4\cdot512\cdot225=240^2$ なので、$x=\dfrac{720\pm240}{1024}$、すなわち $x=\dfrac{15}{32},\dfrac{15}{16}$。これらを直線の式に戻すと、$x=\dfrac{15}{32}$ のとき $y=\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$、$x=\dfrac{15}{16}$ のとき $y=0$ である。$\dfrac{15}{32}<\dfrac{15}{16}$ であり、両点は代入した楕円・直線をともに満たす。