2大分大学 2025年 数学 第2問解答・解説

$\overrightarrow{AB}=\vec{u},\ \overrightarrow{AC}=\vec{v}$、$S=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2$、$d=\vec{u}\cdot\vec{v}$ とする。まず $\overrightarrow{BC}=\vec{v}-\vec{u}$ だから条件は
$$S=5|\vec{v}-\vec{u}|^2=5(S-2d).$$
これより $d=2S/5$。

(1) 求める定数は
$$s=\frac{d}{S}=\frac25.$$

(2) Aを始点とする位置ベクトルで中点を表すと
$$\overrightarrow{BM}=\frac{\vec{v}}{2}-\vec{u},\qquad \overrightarrow{CN}=\frac{\vec{u}}{2}-\vec{v}.$$
したがって
$$\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{CN} =\frac54d-\frac12S=0.$$

(3) $L$はBCの中点なので $\overrightarrow{AL}=(\vec{u}+\vec{v})/2$。よって
$$|\overrightarrow{AL}|^2=\frac14(S+2d)=\frac9{20}S.$$
また、それぞれの長さを展開すると
$$|\overrightarrow{BM}|^2+|\overrightarrow{CN}|^2 =\frac54S-2d=\frac9{20}S.$$
両辺の係数は等しく、$t=1$。

(4) $|\vec{u}|=|\vec{v}|=r>0$ とすると $d=r^2\cos\theta$、$S=2r^2$。一方 $d=2S/5=4r^2/5$ だから
$$\cos\theta=\frac45.$$

答え

(1) $s=\frac25$。 (2) $0$。 (3) $t=1$。 (4) $\cos\theta=\frac45$。