1大分大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$f(x)=x-\log x$ である。
(1)

$1\leqq x\leqq2$ とする。$g(x)=x-1-\log x$ とおくと、$g(1)=0$、$g'(x)=1-\dfrac1x=\dfrac{x-1}{x}\geqq0$ であるから、$g(x)\geqq0$ である。また、$h(x)=\log x-\dfrac{x-1}{2}$ とおくと、$h(1)=0$、$h'(x)=\dfrac1x-\dfrac12=\dfrac{2-x}{2x}\geqq0$ であるから、$h(x)\geqq0$ である。したがって、$\log x\leqq x-1$ および $\log x\geqq\dfrac{x-1}{2}$ より、$$0\leqq f(x)-1=x-1-\log x\leqq\dfrac{x-1}{2}.$$
(2)

(1) を用いて、数学的帰納法により $0\leqq a_n-1\leqq2^{-(n-1)}$ を示す。$n=1$ では $a_1=2$ より成立する。ある $n$ で成立すると、$1\leqq a_n\leqq2$ なので (1) から $$0\leqq a_{n+1}-1=f(a_n)-1\leqq\dfrac{a_n-1}{2}\leqq2^{-n}$$ となる。よってすべての $n\geqq1$ で成立する。$2^{-(n-1)}\to0$ だから、はさみうちの原理により $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=1$ である。
(3)

$a_n>0$ であり、$b_n$ も正である。漸化式から $a_{k+1}=a_k-\log a_k$、すなわち $\log a_k=a_k-a_{k+1}$ である。また $b_{n+1}=a_{n+1}b_n$ と $b_1=a_1$ より $b_n=a_1a_2\cdots a_n$ だから、$$\log b_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\log a_k=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k+1})=a_1-a_{n+1}=2-a_{n+1}.$$ よって $b_n=e^{2-a_{n+1}}$ であり、(2) と指数関数の連続性から $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=e$ となる。