2北里大学 2023年 数学 第2問解答・解説

$L=\log2$ とおく（$0.6<L<0.7$）。
(1) $f'(x)=L2^x-2x$。$x\geqq4$ では
$$f''(x)=L^2 2^x-2>0.6^2\cdot16-2>0.$$
したがって$f'$は増加し、$f'(4)=16L-8>16\cdot0.6-8>0$。よって$x\geqq4$で$f'(x)>0$、すなわち$f$は増加する。
(2) $f'''(x)=L^3 2^x>0$ なので$f''$はxが大きくなると値は必ず大きくなり、ただ一度だけ0を通る。よって$f'$は一度減少し、その後一度増加する。符号は
$$f'(0)=L>0,\quad f'(1)=2L-2<0,\quad f'(4)=16L-8>0.$$
従って減少区間に1個、増加区間に1個、合計2個の異なる実数解をもつ。
(3) $f(-1)=1/2-1<0<f(0)=1$ より$-1<x<0$に根がある。また$f(2)=f(4)=0$。従って少なくとも3個の異なる実数解がある。(2)より$f'$の零点は2個だけなので、ロルの定理から$f$の零点は3個を超えない。従って異なる実数解は3個。
(4) 最小根$p$は$-1<p<0$。$p\leqq x\leqq0$で曲線の差は
$$f(x)-\left(-x^2+\frac{2}{L}x\right)=2^x-\frac{2x}{L}>0.$$
よって面積は
$$\int_p^0\left(2^x-\frac{2x}{L}\right)dx =\frac{1-2^p+p^2}{L}.$$
$f(p)=0$より$2^p=p^2$だから、面積は$\boxed{1/L}=\boxed{1/\log2}$。