III慶應義塾大学 2022年 数学 第III問解答・解説

以下の文章の空欄に適切な数、式または語句を入れて文章を完成させなさい。ただし空欄 $\text{(う),(え),(お),(か),(く)}$ には選択肢より適切なものを選んで記入し、空欄 $\text{(け)}$ には文字 $a,\theta$ の式を記入しなさい。　

(1) 座標平面の点 $P(x,y)$ を、点 $T(s,t)$ を中心として反時計回りに角 $\alpha$ だけ回転させるときに、点 $P$ が点 $P'(x',y')$ に移るとする。$x'$ と $y'$ を $x,y,s,t,\alpha$ の式で表すと $x'=\boxed{\text{(あ)}}$、$y'=\boxed{\text{(い)}}$ となる。　

(2) $a$ を正の実数とする。原点 $O(0,0)$ を中心とする半径 $a$ の円 $C$ に、半径が $\frac{a}{2}$ で原点 $O$ を通る円 $K$ を点 $A(a,0)$ において内接させる。この円 $K$ を円 $C$ に沿って滑らないように転がす。ただし、$K$ と $C$ の接点が $C$ 上を反時計回りに動くようにする。そして、接点の座標がはじめて $(a\cos\beta,a\sin\beta)\ (0\leqq\beta\leqq2\pi)$ となるようにする。円 $K$ に対するこの操作は次の2段階の操作を続けて行なうことと同等である。　

(i) 点 $B\left(\frac{a}{2},0\right)$ を中心として、円 $K$ を $\boxed{\text{(う)}}$ に角 $\boxed{\text{(え)}}$ だけ回転させる。　

(ii) 原点 $O$ を中心として、円 $K$ を $\boxed{\text{(お)}}$ に角 $\boxed{\text{(か)}}$ だけ回転させる。　

(3) 円 $K$ が点 $A$ において円 $C$ に内接しているとき、$K$ の内部に固定された点 $Q(b,0)$（ただし $0<b<a$）をとる。円 $K$ を、$C$ との接点が $C$ 上を一周するまで (2) に述べたやり方で $C$ に沿って転がすとき、点 $Q$ が動いてできる曲線を $S_1$ とする。$S_1$ 上の点の座標を $(x,y)$ として、$S_1$ の方程式を $x,y$ を用いて書くと $\boxed{\text{(き)}}$ となる。　

(4) 円 $K$ が点 $A$ において円 $C$ に内接しているとき、円 $C$ に固定された点 $R(0,a)$ をとる。今度は円 $K$ を固定して、円 $C$ の方を $K$ に接した状態で滑らないように $K$ に沿って転がす。2つの円の接点が円 $K$ を $\boxed{\text{(く)}}$ 回転したとき、点 $R$ ははじめてもとの位置 $(0,a)$ に戻る。$R$ が描く曲線を $S_2$ とする。原点 $O$ を極とし、$x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r,\theta)$ による $S_2$ の極方程式は $r=\boxed{\text{(け)}}$ である。ただし $r,\theta$ はそれぞれ $S_2$ 上の点の原点からの距離、および偏角である。　
空欄 $\text{(う),(え),(お),(か),(く)}$ の選択肢：時計回り、反時計回り、$\beta$、$2\beta$、$\frac{1}{2}\beta$、1、2、3、4。