5関西医科大学 2022年 数学 第5問解答・解説

(1)

割り算すると $f(x)=2x+\frac{6x}{x^2-9}$。余り項は $x\to\infty$ で $0$ へ収束する。
$f(x)-(ax+b)=(2-a)x-b+\frac{6x}{x^2-9}$ より、極限 $0$ には $a=2,b=0$ が必要十分。

(2)

定義域は $x\ne\pm3$ で、$f$ は奇関数。
$$f'(x)=\frac{2(x^2-18)(x^2-3)}{(x^2-9)^2}。$$
増加区間は $(-\infty,-3\sqrt2),\ (-\sqrt3,\sqrt3),\ (3\sqrt2,\infty)$。
減少区間は $(-3\sqrt2,-3),\ (-3,-\sqrt3),\ (\sqrt3,3),\ (3,3\sqrt2)$。
各停留点の値を代入すると、記載の極値となる。
$x\to-3-0$ では $-\infty$、$x\to-3+0$ では $+\infty$、$x\to3-0$ では $-\infty$、$x\to3+0$ では $+\infty$。
無限遠では $y=2x$ に漸近する。
$x$ 軸との交点は $x=-\sqrt6,0,\sqrt6$ であり、これらと極値・漸近線を合わせて図示する。

(3)

$x$ 軸との交点は $-\sqrt6,0,\sqrt6$。
$0<x<\sqrt6$ では $f(x)>0$、奇対称性から閉領域の面積は $2\int_0^{\sqrt6}f(x)\,dx$。
原始関数は $x^2+3\log|x^2-9|$。
$$S=2\{6+3\log3-3\log9\}=12-6\log3。$$
他の枝は $x$ 軸と閉じた領域を作らない。