2関西医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

本問

$n^2-30n+210=(n-15)^2-15=m^2$（$m$ は自然数）とおく。
したがって $(n-15-m)(n-15+m)=15$。
2因子は奇数で同符号、後者が大きい。
正の組は $(1,15),(3,5)$、負の組は $(-15,-1),(-5,-3)$。
各組の和 $2(n-15)$ から、$n=23,19,7,11$ を得る。
対応する $m$ は $7,1,7,1$ でいずれも自然数。
これらはすべて素数であり、因数対を尽くしたので他にはない。