4関西医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1)

$r=\frac{\sqrt2}{2}$ とおけば、$A=(1,0),\ B=(r,r),\ C=(0,1)$。
$y=ax^2+bx+c$ に代入すると、$c=1,\ a+b=-1,\ \frac a2+br+1=r$。
これを解いて $a=-2,\ b=1,\ c=1$ となる。

(2)

残る頂点は $D=(-r,r),\ E=(-1,0),\ F=(-r,-r),\ G=(0,-1),\ H=(r,-r)$。
$P_1$ の $x=-r,-1,0,r$ での $y$ は順に $-r,-2,1,r$。
したがって、残る頂点のうち一致するのは $F$ のみ。

(3)

$A=(1,0),\ B=(r,r),\ D=(-r,r)$ を通る。
$B,D$ の $y$ 座標が等しいから $b=0$。
$a+c=0,\ \frac a2+c=r$ より、$a=-2r=-\sqrt2,\ c=\sqrt2$。

(4)

$P_2(-1)=0$ より $E$ を通る。
$x=0$ で $y=\sqrt2$ となり $C,G$ とは異なり、$x=\pm r$ で $y=r$ なので $F,H$ とも異なる。
よって、他の頂点は $E$ だけ。

(5)

同じ $x$ 座標をもつ異なる頂点は、同一の $y=ax^2+bx+c$ 上にはない。
$B,H$ は $x=r$、$C,G$ は $x=0$、$D,F$ は $x=-r$ である。
$A,E$ をどちらも選ばない場合、残る6頂点の $x$ 座標は3種類しかないため、4点の $x$ 座標を異ならせられない。したがって少なくとも一方を選ぶ。
$A,E$ をともに含む場合、$a+b+c=a-b+c=0$ より $b=0,\ c=-a$。
この場合に $C$ または $G$ を含むと $c=\pm1,\ a=\mp1$ なので、$x=\pm r$ での値は $\pm\frac12$ となり、他の頂点の高さ $\pm r$ に一致しない。従って残る2点は $x=\pm r$ で同じ高さを選ぶ必要があり、$ABDE$ と $AEFH$ の2組。
$A$ だけを含む場合、$x=0$ の高さを $\varepsilon$（$\pm1$）、$x=r,-r$ の高さを $r\eta_+,r\eta_-$（$\eta_+,\eta_-=\pm1$）とする。
$c=\varepsilon,\ a=r(\eta_++\eta_-)-2\varepsilon,\ b=\frac{\eta_+-\eta_-}{2}$。
$A$ を通る条件は
$$r(\eta_++\eta_-)+\frac{\eta_+-\eta_-}{2}-\varepsilon=0。$$
$r$ は無理数なので $\eta_-=-\eta_+,\ \eta_+=\varepsilon$。よって $ABCF$ と $ADGH$。
$E$ だけを含む場合も $a-b+c=0$ から $\eta_-=-\eta_+,\ \eta_+=-\varepsilon$ となり、$BEFG$ と $CDEH$。
以上6組は(1),(3)の放物線およびその対称移動で実際に成立し、いずれも $a\ne0$。
全 ${}_{8}\mathrm{C}_{4}=70$ 組より、確率は $\frac6{70}=\frac3{35}$。