1関西医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1)
$\dfrac{\sqrt{3}+i}{2}=\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}$ であり、$\dfrac{\sqrt{3}-i}{2}$ は $\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$ と表せる。
ド・モアブルの定理より、
$$\left(\dfrac{\sqrt{3}+i}{2}\right)^{3k}+\left(\dfrac{\sqrt{3}-i}{2}\right)^{3k}=\left(\cos\dfrac{k\pi}{2}+i\sin\dfrac{k\pi}{2}\right)+\left(\cos\dfrac{k\pi}{2}-i\sin\dfrac{k\pi}{2}\right)=2\cos\dfrac{k\pi}{2}$$
となる。
$k$ が奇数のとき $\dfrac{k\pi}{2}$ は $\dfrac{\pi}{2}$ の奇数倍なので、$\cos\dfrac{k\pi}{2}=0$ である。
よって求める値は $0$ である。

(2)
(1) と同じくド・モアブルの定理より、
$$\left(\dfrac{\sqrt{3}+i}{2}\right)^{2022}+\left(\dfrac{\sqrt{3}-i}{2}\right)^{2022}=2\cos\dfrac{2022\pi}{6}=2\cos 337\pi$$
である。
$337\pi=336\pi+\pi$ で、$336\pi$ は $2\pi$ の倍数なので、$\cos 337\pi=\cos\pi=-1$ である。
よって求める値は $2\cdot(-1)=-2$ である。