3関西医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1)

$A=(t,0),\ P=(X,Y),\ Y\ne0$ より、2点は異なる。
方向ベクトルは $(X-t,Y)$ なので、直線は $Y(x-t)-(X-t)y=0$。
$X=t$ の鉛直線の場合にも有効。

(2)

円の中心 $K=(0,-1)$ と直線 $AP$ の距離が半径 $1$ なので、
$$\{X-t(1+Y)\}^2=Y^2+(X-t)^2。$$
$Y\ne0$ を用いて整理すると、$(Y+2)t^2-2Xt-Y=0$。
円外条件より $D=X^2+Y^2+2Y>0$。
$Y=-2$ ではこの式は高々1個の有限解しかもたず、異なる $A,B$ から2接線は作れない。したがって $Y\ne-2$。
$A$ の $x$ 座標は2根の大きい方であるため、$t=\frac{X}{Y+2}+\frac{\sqrt D}{|Y+2|}$。

(3)

2根の差は $AB=\frac{2\sqrt D}{|Y+2|}$。
$AB=2$ より $D=(Y+2)^2$、したがって $X^2=2Y+4$。
$Y\ne-2$ より $X\ne0$、$P$ が $x$ 軸上にない条件から $X\ne\pm2$。
逆に、この放物線上で3点を除けば、$D=(Y+2)^2=\frac{X^4}{4}>0$ で円の外部にあり、2接線の $x$ 切片の差は確かに $2$ となる。
よって、除外条件を満たす放物線の全体が軌跡。
頂点 $(0,-2)$ および $x$ 軸との交点 $(\pm2,0)$ を白丸で表した。