2広島大学 2022年 数学 第2問解答・解説

$a$ を正の実数、$t$ を $0<t<1$ を満たす実数とする。座標平面上の3点 $A(0,a), B(-1,0), C(1,0)$ を頂点とする二等辺三角形の内接円を $S$ とし、その中心が $I(0,t)$ であるとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) $\angle IBC$ を $\theta$ とおく。$t$ と $a$ を、それぞれ $\theta$ を用いて表せ。
(2) $a$ を $t$ を用いて表せ。
(3) $\triangle ABC$ の重心が内接円 $S$ の周上にあるとき、$t$ の値を求めよ。
(4) $\triangle ABC$ の垂心が $S$ の周上にあるとき、$t$ の値を求めよ。ただし、三角形の各頂点から対辺、またはその延長に下ろした3本の垂線は1点で交わることが知られており、その交わる点を三角形の垂心と呼ぶ。
(5) $\triangle ABC$ の外心が $S$ の周上にあるとき、$t$ のとり得る値をすべて求めよ。