2浜松医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

全体

$f(0)=st>0$ と $t\geqq0$ から、$s>0,t>0$ が必要。
因数分解すると $f(x)=(x+s)(x^2-2sx+t)$。
$s>0$ なので $0\leqq x\leqq1$ で $x+s>0$。したがって条件 $p$ は、二次式 $h(x)=x^2-2sx+t$ が全区間で正となることと同値である。
$0<s\leqq1$ では頂点 $x=s$ が区間内で最小値は $t-s^2$、ゆえに $t>s^2$。
$s\geqq1$ では $h$ は区間上で減少し、最小は $x=1$ の $t-2s+1$、ゆえに $t>2s-1$。
$s=1$ で両条件は $t>1$ に一致する。逆にこの領域なら両因子が正で、全 $x$ について $f(x)>0$ となる。
図では $s>0$ の範囲で、$0<s\leqq1$ の放物線 $t=s^2$ と $s\geqq1$ の直線 $t=2s-1$ をつなぐ境界の上側を塗る。境界は破線とし、含めない。