3東海大学 2024年 数学 第3問解答・解説

等差数列の和から指数を表し、部分和の増減と常用対数の範囲で求める数値を確定した。

(1)
等差数列の初項を $a_1$、公差を $d$ とする。和の公式より
$$\dfrac52(2a_1+4d)=100,\qquad \dfrac{10}{2}(2a_1+9d)=25.$$
すなわち $a_1+2d=20$、$2a_1+9d=5$ である。これを解くと $d=-7$、$a_1=34$ となる。従って
$$a_n=34-7(n-1)=41-7n.$$
初項から第 $n$ 項までの和は
$$S_n=\dfrac n2\{2\cdot34+(n-1)(-7)\}=\dfrac{n(75-7n)}2.$$

(2)
定義から
$$b_n=b_1\cdot\dfrac{b_2}{b_1}\cdot\dfrac{b_3}{b_2}\cdots\dfrac{b_n}{b_{n-1}} =2^{a_1}2^{a_2}\cdots2^{a_n}=2^{S_n}.$$
よって
$$b_3=2^{S_3}=2^{\dfrac{3(75-21)}2}=2^{81}.$$

(3)
底 $2$ は1より大きいから、$b_n<1$ は $S_n<0$ と同値である。$n$ は正の整数なので
$$S_n=\dfrac{n(75-7n)}2<0 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad n>\dfrac{75}{7}.$$
従って条件を満たす最小の自然数は $n=11$ である（$S_{10}=25>0$、$S_{11}=-11<0$）。

(4)
$b_n=2^{S_n}$ は $S_n$ が最大のとき最大となる。隣り合う部分和の差は
$$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}=34-7n.$$
これは $n=1,2,3,4$ では正、$n\geqq5$ では負だから、$S_n$ は $n=5$ で最大となる。そのとき $S_5=100$、従って最大値は $2^{100}$ である。

与えられた評価から
$$30.1<100\log_{10}2<30.2.$$
また $\log_{10}2>0.301$ より $30.2<30+\log_{10}2$ である。常用対数の単調性から
$$10^{30}<2^{100}<10^{30+\log_{10}2}=2\cdot10^{30}.$$
したがって最大値は31桁で、最高位に現れる数字は1である。