4和歌山県立医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

複素数の差の絶対値で各辺の長さを表す。相異なる条件のもとで $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ を円の条件に直し、$\mathrm{AB}$、$\mathrm{AC}$、$\mathrm{BC}$ の比を $|z|$ で表して、直角二等辺三角形と正三角形の条件を処理する。

(1)

$z,\,z^{2},\,z^{3}$ が互いに異なるので、$z$ は $0$、$1$ のいずれでもなく、$|z|\,|1-z|>0$ である。条件 $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ は
$$|z-z^{2}|=|z-z^{3}|, \qquad |z|\,|1-z|=|z|\,|1-z|\,|1+z|$$
と書ける。共通の正の因子を約して $|z+1|=1$ を得る。
逆向きと除外点も確認する。三点のうち二点が一致する条件をそれぞれ書くと、
・$\mathrm{A}=\mathrm{B}$ となるのは $z(1-z)=0$、すなわち $z=0,\,1$ のとき。
・$\mathrm{A}=\mathrm{C}$ となるのは $z(1-z^{2})=0$、すなわち $z=0,\,1,\,-1$ のとき。
・$\mathrm{B}=\mathrm{C}$ となるのは $z^{2}(1-z)=0$、すなわち $z=0,\,1$ のとき。
よって三点が互いに異なるための条件は、$z$ が $0,\,1,\,-1$ のいずれでもないことである。この三つの値について $|z+1|$ を調べると
$$|0+1|=1,\qquad |1+1|=2,\qquad |-1+1|=0$$
だから、円周 $|z+1|=1$ 上にあるのは $z=0$ だけである。したがって円周から原点を除いた各点では三点は互いに異なり、また $z=0,\,1$ ではないので、共通因子 $|z|\,|1-z|$ を掛け戻せば $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ となる。以上より、条件を満たす $\mathrm{A}$ の軌跡は中心 $(-1,\,0)$、半径 $1$ の円周から原点を除いたものである。

(2)

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ だから三角形 $\mathrm{ABC}$ は二等辺三角形である。直角が $\mathrm{B}$ または $\mathrm{C}$ にあると、底角が等しいことから両方が直角になってしまうので、直角は $\mathrm{A}$ にある。各辺の長さを複素数の差で表すと
$$\mathrm{AB}=|z|\,|1-z|,\qquad \mathrm{AC}=|z|\,|1-z|\,|1+z|,\qquad \mathrm{BC}=|z|^{2}\,|1-z|$$
である。したがって $\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=|z|$ であり、直角二等辺三角形の三平方の定理から $\mathrm{BC}^{2}=2\,\mathrm{AB}^{2}$、よって $|z|=\sqrt{2}$ となる。
$z=u+vi$（$u$、$v$ は実数）とおくと、$|z+1|=1$ と $|z|=\sqrt{2}$ より
$$(u+1)^{2}+v^{2}=1,\qquad u^{2}+v^{2}=2$$
である。差をとると $u=-1$、したがって $v=\pm1$ である。求める値は $z=-1\pm i$ である。例えば $z=-1+i$ のとき $z^{2}=-2i$、$z^{3}=2+2i$ であり、三点は互いに異なる。共役な場合も同様で、いずれも上の条件を満たす。

(3)

正三角形であるためには、すでに等しい $\mathrm{AB}$、$\mathrm{AC}$ に加えて $\mathrm{BC}=\mathrm{AB}$ が必要十分である。辺の長さの式から $\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=|z|$ なので、ここでは $|z|=1$ となる。これと $|z+1|=1$ から
$$u^{2}+v^{2}=1,\qquad (u+1)^{2}+v^{2}=1$$
を得る。差をとると $u=-\dfrac{1}{2}$、よって $v=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である。したがって $z=-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ である。
$z=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ のとき
$$\mathrm{A}=\left(-\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right),\quad \mathrm{B}=\left(-\dfrac{1}{2},\,-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right),\quad \mathrm{C}=(1,\,0)$$
となり、三辺の長さはいずれも $\sqrt{3}$ である。もう一方の $z$ では $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ の位置が入れ替わる。前者の場合の三角形は次の図のとおりである。