3筑波大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1)

実係数二次式の根が実軸上にない条件は $p^2-4q<0$。このとき共役根の実部は $-\frac p2$ なので、虚軸上にもない条件は $p\ne0$。これらが必要十分である。

(2)

根を $u\pm iv$ とすれば $p=-2u,q=u^2+v^2$。$0\leqq2p+q\leqq5$ は $0\leqq u^2+v^2-4u\leqq5$、すなわち $4\leqq(u-2)^2+v^2\leqq9$。[A]から $u,v$ はともに $0$ でない。
逆にこの領域内の任意の $u+iv$ に対して上式で $p,q$ を定めると原条件を満たすので、必要十分な領域である。円周は軸上の点以外を含む。

(3)

正方向へ $\frac\pi2$ 回転した根は $w_1=iz_1,w_2=iz_2$。実係数式はその共役 $-iz_2,-iz_1$ も根に持つ。[A]より $z_1,z_2$ は非実で実部も非零なので、この4根は全て相異なる。従って最小次数は4。
$w_1,w_2$ を根とする二次式は $x^2+ipx-q$、共役根側の式は $x^2-ipx-q$。積は $(x^2-q)^2+p^2x^2=x^4+(p^2-2q)x^2+q^2$。