2筑波大学 2024年 数学 第2問解答・解説

次の問に答えなさい。

問1　$\{{a}_{n}\}$を数列とする。次の命題の真偽について、正しいものを丸で囲みなさい。さらに、偽の場合は反例を$\,1\,$つあげなさい。ただし、命題が成立することや反例となっていることの証明は不要である。

(1)　任意の$\,n=1\,\text{、}$ $2\,\text{、}$ $\cdots \,$に対して$\,|{a}_{n}|\leqq 0.01\,$が成り立つならば、${a}_{n}\,$は収束する。

(2)　任意の$\,n=1\,\text{、}$ $2\,\text{、}$ $\cdots \,$に対して$\,{a}_{n}<1\,$が成り立ち、${a}_{n}\,$は$\,\alpha \,$に収束するならば、$\alpha <1\,$が成り立つ。

(3)　${a}_{n}\,$は$\,\alpha \,$に収束し、$\alpha >0\,$ならば、次で定義される数列$\,\{{S}_{n}\}$は収束しない。

$\displaystyle {S}_{n}={\sum }_{i=1}^{n}{a}_{i}\,\text{、}$ $n=1\,\text{、}2\,\text{、}\cdots$

問2　数列$\,\{{a}_{n}\}$を次で定義する。

${a}_{n}={(1+\frac{1}{n})}^{n}\,\text{、}$ $n=1\,\text{、}2\,\text{、}\cdots$

$\{{a}_{n}\}$は収束することが知られており、その極限値$\,e\,$はネイピア数とよばれる。次の問に答えなさい。

(1)　$n\,$を正の整数、$k\,$を$\,n\,$以下の正の整数とする。次の不等式を示しなさい。

${a}_{n}\geqq 1+\frac{{}_{n}\mathrm{C}_{1}}{n}+\frac{{}_{n}\mathrm{C}_{2}}{{n}^{2}}+\cdots +\frac{{}_{n}\mathrm{C}_{k}}{{n}^{k}}$

(2)$\text{「}\,e\,$は$\,\{{a}_{n}\}$の極限値である」という定義に基づき、$e>2.7\,$を示しなさい。