1筑波大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1)

$u=\sqrt[3]{x+h},v=\sqrt[3]x$ と置くと $h=(u-v)(u^2+uv+v^2)$。従って差商は $\frac{\sqrt[3]{x+h}-\sqrt[3]x}h=\frac1{u^2+uv+v^2}$。
$x\ne0$ なら $h\to0$ で $u\to v$ なので $\frac1{3v^2}$ を得る。$x=0$ では差商 $\frac{\sqrt[3]h}h=\frac1{(\sqrt[3]h)^2}\to+\infty$ であり、通常の実数値の微分係数はない。導関数の定義を直接用いた。

(2)

$x=(x+1)-1$ なので、被積分関数は $\sqrt{x+1}-\frac1{\sqrt{x+1}}$。各項を積分すると結論を得る。微分すると $\frac x{\sqrt{x+1}}$ に戻る。

(3)

$f(a)=a-10,f\prime(a)=a^2+1$。接線は $y=(a^2+1)(x-a)+a-10$ で、$x=0$ での切片は $-a^3-10$。
これが $a$ に等しいので $a^3+a+10=0$、$(a+2)(a^2-2a+5)=0$。二次因子は $(a-1)^2+4>0$ なので、実数解は $a=-2$ のみ。